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Theorem nnsum4primeseven 40014
Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primeseven (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven
Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evengpop3 40012 . . . 4 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3)))
21imp 443 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3))
3 simplll 793 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ))
4 6nn 11036 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
54nnzi 11234 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 6 ∈ ℤ)
7 3z 11243 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℤ)
9 6p3e9 11017 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 3) = 9
109eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . 13 9 = (6 + 3)
1110fveq2i 6091 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘9) = (ℤ‘(6 + 3))
1211eleq2i 2679 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
1312biimpi 204 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
14 eluzsub 11549 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
156, 8, 13, 14syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1615adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1716ad3antlr 762 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
18 3odd 39953 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ Odd
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ Odd )
2019anim1i 589 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2120adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2221ancomd 465 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2322adantr 479 . . . . . . . . 9 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2423adantr 479 . . . . . . . 8 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25 emoo 39949 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27 nnsum4primesodd 40010 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)))
2827imp 443 . . . . . . 7 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
293, 17, 26, 28syl12anc 1315 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
30 elmapi 7742 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
32 4z 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ ℤ
33 fzonel 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ¬ 4 ∈ (1..^4)
34 fzoval 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3532, 34ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1..^4) = (1...(4 − 1))
36 4cn 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 ∈ ℂ
37 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1 ∈ ℂ
38 3cn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 ∈ ℂ
3936, 37, 383pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
40 3p1e4 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (3 + 1) = 4
41 subadd2 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
4240, 41mpbiri 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
4339, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 − 1) = 3
4443oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (1...(4 − 1)) = (1...3)
4535, 44eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^4) = (1...3)
4645eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...3) = (1..^4)
4746eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
4833, 47mtbir 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 4 ∈ (1...3)
4932, 48pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
51 3prm 15190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℙ
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
53 fsnunf 6334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
5431, 50, 52, 53syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
55 fzval3 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
5632, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...4) = (1..^(4 + 1))
57 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℤ
58 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ
59 4re 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4 ∈ ℝ
60 1lt4 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 < 4
6158, 59, 60ltleii 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ≤ 4
62 eluz2 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (4 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
6357, 32, 61, 62mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4 ∈ (ℤ‘1)
64 fzosplitsn 12397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
6645uneq1i 3724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
6756, 65, 663eqtri 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
6867feq2i 5936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
6954, 68sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
70 prmex 15175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ℙ ∈ V
71 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...4) ∈ V
7270, 71pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
73 elmapg 7734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7472, 73mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7569, 74mpbird 245 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
77 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7877adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7978sumeq2dv 14227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
8079eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8180adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8263a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ‘1))
8367eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
84 elun 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
85 velsn 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
8685orbi2i 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
8783, 84, 863bitri 284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
88 elfz2 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)))
89 3re 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 ∈ ℝ
9089, 59pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
91 3lt4 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3 < 4
92 ltnle 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
9391, 92mpbii 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
9490, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ¬ 4 ≤ 3
95 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9695eqcoms 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9794, 96mtbiri 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
9897a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
9998necon2ad 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
10099adantld 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
1011003ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
102101imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
10388, 102sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
104103adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
105 fvunsn 6328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
107 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
108107ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
109 prmz 15173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑔𝑘) ∈ ℙ → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
111110zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℂ)
112106, 111eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
113112ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114113adantld 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
115 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
11632a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
1177a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
118 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
119 eleq2 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
12048, 119mtbiri 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121118, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
122 fsnunfv 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123116, 117, 121, 122syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124123adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
125115, 124sylan9eq 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
126125, 38syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
127126ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128114, 127jaoi 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
129128com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
13087, 129syl5bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
131130imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
13282, 131, 115fsumm1 14270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
133132adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
13443eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 = (4 − 1)
135134oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...3) = (1...(4 − 1))
136135a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
137103adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
138137, 105syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
139138eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140136, 139sumeq12dv 14230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
141140eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
142141biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
143142eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
144143oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
14532a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
1467a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
147121adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
148145, 146, 147, 122syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
149148oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
150 eluzelcn 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
15138a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℂ)
152150, 151npcand 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153152adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
154149, 153eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155154adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
156133, 144, 1553eqtrrd 2648 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
15776, 81, 156rspcedvd 3288 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
158157ex 448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
159158expcom 449 . . . . . . . . . . 11 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
16030, 159syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
161160com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
162161rexlimdv 3011 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
163162adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
164163ad3antlr 762 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
16529, 164mpd 15 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
166165ex 448 . . . 4 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOdd ) → (𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
167166rexlimdva 3012 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOdd 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
1682, 167mpd 15 . 2 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
169168ex 448 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOdd ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  cun 3537  {csn 4124  cop 4130   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  cc 9790  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  3c3 10918  4c4 10919  5c5 10920  6c6 10921  9c9 10924  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  Σcsu 14210  cprime 15169   Even ceven 39873   Odd codd 39874   GoldbachOdd cgbo 39966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-prm 15170  df-even 39875  df-odd 39876  df-gbo 39969
This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  40016
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