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Theorem nnsum4primeseven 42013
 Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 8 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 25-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primeseven (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primeseven
Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 evengpop3 42011 . . . 4 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3)))
21imp 444 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3))
3 simplll 813 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ))
4 6nn 11227 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ
54nnzi 11439 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 6 ∈ ℤ)
7 3z 11448 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℤ)
9 6p3e9 11208 . . . . . . . . . . . . . 14 (6 + 3) = 9
109eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . 13 9 = (6 + 3)
1110fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . 12 (ℤ‘9) = (ℤ‘(6 + 3))
1211eleq2i 2722 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
1312biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3)))
14 eluzsub 11755 . . . . . . . . . 10 ((6 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(6 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
156, 8, 13, 14syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1615adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
1716ad3antlr 767 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6))
18 3odd 41942 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ Odd
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ Odd )
2019anim1i 591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
2221ancomd 466 . . . . . . . . . 10 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2322adantr 480 . . . . . . . . 9 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
2423adantr 480 . . . . . . . 8 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
25 emoo 41938 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
27 nnsum4primesodd 42009 . . . . . . . 8 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)))
2827imp 444 . . . . . . 7 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘6) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
293, 17, 26, 28syl12anc 1364 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
30 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
31 4z 11449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ ℤ
32 fzonel 12522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ¬ 4 ∈ (1..^4)
33 fzoval 12510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
3431, 33ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1..^4) = (1...(4 − 1))
35 4cn 11136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4 ∈ ℂ
36 ax-1cn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1 ∈ ℂ
37 3cn 11133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 3 ∈ ℂ
3835, 36, 373pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ)
39 3p1e4 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (3 + 1) = 4
40 subadd2 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
4139, 40mpbiri 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
4238, 41ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 − 1) = 3
4342oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1...(4 − 1)) = (1...3)
4434, 43eqtri 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1..^4) = (1...3)
4544eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...3) = (1..^4)
4645eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
4732, 46mtbir 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 4 ∈ (1...3)
4831, 47pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
50 3prm 15453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3 ∈ ℙ
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
52 fsnunf 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
5330, 49, 51, 52syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
54 fzval3 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
5531, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1...4) = (1..^(4 + 1))
56 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℤ
57 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℝ
58 4re 11135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4 ∈ ℝ
59 1lt4 11237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 < 4
6057, 58, 59ltleii 10198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ≤ 4
61 eluz2 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (4 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
6256, 31, 60, 61mpbir3an 1263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4 ∈ (ℤ‘1)
63 fzosplitsn 12616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
6462, 63ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
6544uneq1i 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
6655, 64, 653eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
6766feq2i 6075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
6853, 67sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
69 prmex 15438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℙ ∈ V
70 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...4) ∈ V
7169, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
72 elmapg 7912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7371, 72mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
7468, 73mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
7574adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
76 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7877sumeq2dv 14477 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
7978eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8079adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
8162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ‘1))
8266eleq2i 2722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
83 elun 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
84 velsn 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
8584orbi2i 540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
8682, 83, 853bitri 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
87 elfz2 12371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)))
88 3re 11132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 ∈ ℝ
8988, 58pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
90 3lt4 11235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3 < 4
91 ltnle 10155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
9290, 91mpbii 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
9389, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ¬ 4 ≤ 3
94 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9594eqcoms 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
9693, 95mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
9796a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
9897necon2ad 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
9998adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
100993ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
101100imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
10287, 101sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
103102adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
104 fvunsn 6486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
105103, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
106 ffvelrn 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
107106ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
108 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔𝑘) ∈ ℙ → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
110109zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℂ)
111105, 110eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
112111ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
113112adantld 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
114 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
11531a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
1167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
117 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
118 eleq2 2719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
11947, 118mtbiri 316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
120117, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
121 fsnunfv 6494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
122115, 116, 120, 121syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
123122adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
124114, 123sylan9eq 2705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
125124, 37syl6eqel 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
126125ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
127113, 126jaoi 393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
128127com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
12986, 128syl5bi 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
130129imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
13181, 130, 114fsumm1 14524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
132131adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
13342eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3 = (4 − 1)
134133oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) = (1...(4 − 1))
135134a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
136102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
137136, 104syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
138137eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
139135, 138sumeq12dv 14481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
140139eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
141140biimpa 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
142141eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
143142oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
14431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
1457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
146120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
147144, 145, 146, 121syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
148147oveq2d 6706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
149 eluzelcn 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 𝑁 ∈ ℂ)
15037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → 3 ∈ ℂ)
151149, 150npcand 10434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
152151adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
153148, 152eqtrd 2685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
155132, 143, 1543eqtrrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
15675, 80, 155rspcedvd 3348 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
157156ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
158157expcom 450 . . . . . . . . . 10 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
159 elmapi 7921 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
160158, 159syl11 33 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
161160rexlimdv 3059 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘9) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
162161adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
163162ad3antlr 767 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
16429, 163mpd 15 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
165164ex 449 . . . 4 (((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddW ) → (𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
166165rexlimdva 3060 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (∃𝑜 ∈ GoldbachOddW 𝑁 = (𝑜 + 3) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
1672, 166mpd 15 . 2 ((∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
168167ex 449 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘9) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ∪ cun 3605  {csn 4210  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  dom cdm 5143  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113   − cmin 10304  3c3 11109  4c4 11110  5c5 11111  6c6 11112  9c9 11115  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  Σcsu 14460  ℙcprime 15432   Even ceven 41862   Odd codd 41863   GoldbachOddW cgbow 41959 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-prm 15433  df-even 41864  df-odd 41865  df-gbow 41962 This theorem is referenced by:  wtgoldbnnsum4prm  42015
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