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Theorem nnsum4primesevenALTV 40015
Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every even integer greater than 10 is the sum of 4 primes. (Contributed by AV, 27-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesevenALTV (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesevenALTV
Dummy variables 𝑜 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simplll 793 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ))
2 8nn 11038 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℕ
32nnzi 11234 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℤ
43a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 8 ∈ ℤ)
5 3z 11243 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℤ
65a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ ℤ)
74, 6zaddcld 11318 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (8 + 3) ∈ ℤ)
8 eluzelz 11529 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 eluz2 11525 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ12) ↔ (12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁))
10 8p4e12 11446 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 4) = 12
1110breq1i 4584 . . . . . . . . . . . . 13 ((8 + 4) ≤ 𝑁12 ≤ 𝑁)
12 1nn0 11155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℕ0
13 2nn 11032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
14 1lt2 11041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 2
1512, 12, 13, 14declt 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 11 < 12
16 8p3e11 11444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 + 3) = 11
1715, 16, 103brtr4i 4607 . . . . . . . . . . . . . 14 (8 + 3) < (8 + 4)
18 8re 10952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 8 ∈ ℝ
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
20 3re 10941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
2219, 21readdcld 9925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (8 + 3) ∈ ℝ)
23 4re 10944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℝ)
2519, 24readdcld 9925 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → (8 + 4) ∈ ℝ)
26 zre 11214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
27 ltleletr 9981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((8 + 3) ∈ ℝ ∧ (8 + 4) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (((8 + 3) < (8 + 4) ∧ (8 + 4) ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁))
2822, 25, 26, 27syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℤ → (((8 + 3) < (8 + 4) ∧ (8 + 4) ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁))
2917, 28mpani 707 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → ((8 + 4) ≤ 𝑁 → (8 + 3) ≤ 𝑁))
3011, 29syl5bir 231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (12 ≤ 𝑁 → (8 + 3) ≤ 𝑁))
3130imp 443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
32313adant1 1071 . . . . . . . . . 10 ((12 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 12 ≤ 𝑁) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
339, 32sylbi 205 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (8 + 3) ≤ 𝑁)
34 eluz2 11525 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(8 + 3)) ↔ ((8 + 3) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (8 + 3) ≤ 𝑁))
357, 8, 33, 34syl3anbrc 1238 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ (ℤ‘(8 + 3)))
36 eluzsub 11549 . . . . . . . 8 ((8 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(8 + 3))) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
374, 6, 35, 36syl3anc 1317 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
3938ad3antlr 762 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8))
40 3odd 39953 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ Odd
4140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ Odd )
4241anim1i 589 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4342adantl 480 . . . . . . . . 9 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (3 ∈ Odd ∧ 𝑁 ∈ Even ))
4443ancomd 465 . . . . . . . 8 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
4544adantr 479 . . . . . . 7 (((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
4645adantr 479 . . . . . 6 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ))
47 emoo 39949 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Even ∧ 3 ∈ Odd ) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
4846, 47syl 17 . . . . 5 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (𝑁 − 3) ∈ Odd )
49 nnsum4primesoddALTV 40011 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → (((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd ) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)))
5049imp 443 . . . . 5 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ ((𝑁 − 3) ∈ (ℤ‘8) ∧ (𝑁 − 3) ∈ Odd )) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
511, 39, 48, 50syl12anc 1315 . . . 4 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘))
52 elmapi 7742 . . . . . . . . 9 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
53 simpr 475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 𝑔:(1...3)⟶ℙ)
54 4z 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℤ
55 fzonel 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ¬ 4 ∈ (1..^4)
56 fzoval 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ∈ ℤ → (1..^4) = (1...(4 − 1)))
5754, 56ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1..^4) = (1...(4 − 1))
58 4cn 10945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 4 ∈ ℂ
59 ax-1cn 9850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
60 3cn 10942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 ∈ ℂ
61 3p1e4 11000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (3 + 1) = 4
62 subadd2 10136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → ((4 − 1) = 3 ↔ (3 + 1) = 4))
6361, 62mpbiri 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ) → (4 − 1) = 3)
6458, 59, 60, 63mp3an 1415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 − 1) = 3
6564oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...(4 − 1)) = (1...3)
6657, 65eqtri 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1..^4) = (1...3)
6766eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (1...3) = (1..^4)
6867eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ (1...3) ↔ 4 ∈ (1..^4))
6955, 68mtbir 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ¬ 4 ∈ (1...3)
7054, 69pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3))
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)))
72 3prm 15190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℙ
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℙ)
74 fsnunf 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ (4 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ (1...3)) ∧ 3 ∈ ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
7553, 71, 73, 74syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
76 fzval3 12359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ ℤ → (1...4) = (1..^(4 + 1)))
7754, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1...4) = (1..^(4 + 1))
78 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ ℤ
79 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 ∈ ℝ
80 1lt4 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 4
8179, 23, 80ltleii 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 4
82 eluz2 11525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 4 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 4))
8378, 54, 81, 82mpbir3an 1236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ (ℤ‘1)
84 fzosplitsn 12397 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (4 ∈ (ℤ‘1) → (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4}))
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1..^(4 + 1)) = ((1..^4) ∪ {4})
8666uneq1i 3724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1..^4) ∪ {4}) = ((1...3) ∪ {4})
8777, 85, 863eqtri 2635 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) = ((1...3) ∪ {4})
8887feq2i 5936 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):((1...3) ∪ {4})⟶ℙ)
8975, 88sylibr 222 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ)
90 prmex 15175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℙ ∈ V
91 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...4) ∈ V
9290, 91pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V)
93 elmapg 7734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℙ ∈ V ∧ (1...4) ∈ V) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
9492, 93mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)) ↔ (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}):(1...4)⟶ℙ))
9589, 94mpbird 245 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
9695adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4)))
97 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑓𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
9897sumeq2sdv 14228 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
9998eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩}) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
10099adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) ∧ 𝑓 = (𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘) ↔ 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
10183a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ (ℤ‘1))
10287eleq2i 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ 𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}))
103 elun 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 ∈ ((1...3) ∪ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}))
104 velsn 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ {4} ↔ 𝑘 = 4)
105104orbi2i 539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 ∈ {4}) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
106102, 103, 1053bitri 284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ (1...4) ↔ (𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4))
107 elfz2 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ (1...3) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)))
10820, 23pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ)
109 3lt4 11044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 < 4
110 ltnle 9968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (3 < 4 ↔ ¬ 4 ≤ 3))
111109, 110mpbii 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → ¬ 4 ≤ 3)
112108, 111ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ¬ 4 ≤ 3
113 breq1 4580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑘 = 4 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
114113eqcoms 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (4 = 𝑘 → (𝑘 ≤ 3 ↔ 4 ≤ 3))
115112, 114mtbiri 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3)
116115a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑘 ∈ ℤ → (4 = 𝑘 → ¬ 𝑘 ≤ 3))
117116necon2ad 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 ≤ 3 → 4 ≠ 𝑘))
118117adantld 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑘 ∈ ℤ → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
1191183ad2ant3 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3) → 4 ≠ 𝑘))
120119imp 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((1 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 3)) → 4 ≠ 𝑘)
121107, 120sylbi 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑘 ∈ (1...3) → 4 ≠ 𝑘)
122121adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ≠ 𝑘)
123 fvunsn 6328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (4 ≠ 𝑘 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
125 ffvelrn 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑔:(1...3)⟶ℙ ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
126125ancoms 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℙ)
127 prmz 15173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑔𝑘) ∈ ℙ → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℤ)
129128zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑔𝑘) ∈ ℂ)
130124, 129eqeltrd 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 ∈ (1...3) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
131130ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ (1...3) → (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
132131adantld 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ (1...3) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
133 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 4 → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4))
13454a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 4 ∈ ℤ)
1355a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → 3 ∈ ℤ)
136 fdm 5950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → dom 𝑔 = (1...3))
137 eleq2 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (dom 𝑔 = (1...3) → (4 ∈ dom 𝑔 ↔ 4 ∈ (1...3)))
13869, 137mtbiri 315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (dom 𝑔 = (1...3) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
139136, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
140 fsnunfv 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((4 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ ∧ ¬ 4 ∈ dom 𝑔) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
141134, 135, 139, 140syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
142141adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
143133, 142sylan9eq 2663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = 3)
144143, 60syl6eqel 2695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑘 = 4 ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
145144ex 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 4 → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
146132, 145jaoi 392 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
147146com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑘 ∈ (1...3) ∨ 𝑘 = 4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
148106, 147syl5bi 230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (𝑘 ∈ (1...4) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ))
149148imp 443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...4)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) ∈ ℂ)
150101, 149, 133fsumm1 14270 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
151150adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
15264eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3 = (4 − 1)
153152oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1...3) = (1...(4 − 1))
154153a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → (1...3) = (1...(4 − 1)))
155121adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → 4 ≠ 𝑘)
156155, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑔𝑘))
157156eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ 𝑘 ∈ (1...3)) → (𝑔𝑘) = ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
158154, 157sumeq12dv 14230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
159158eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) ↔ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘)))
160159biimpa 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
161160eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) = (𝑁 − 3))
162161oveq1d 6542 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → (Σ𝑘 ∈ (1...(4 − 1))((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)))
16354a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 4 ∈ ℤ)
1645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → 3 ∈ ℤ)
165139adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ¬ 4 ∈ dom 𝑔)
166163, 164, 165, 140syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4) = 3)
167166oveq2d 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = ((𝑁 − 3) + 3))
168 eluzelcn 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 𝑁 ∈ ℂ)
16960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ12) → 3 ∈ ℂ)
170168, 169npcand 10247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ12) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
171170adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + 3) = 𝑁)
172167, 171eqtrd 2643 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
173172adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ((𝑁 − 3) + ((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘4)) = 𝑁)
174151, 162, 1733eqtrrd 2648 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → 𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)((𝑔 ∪ {⟨4, 3⟩})‘𝑘))
17596, 100, 174rspcedvd 3288 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) ∧ (𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
176175ex 448 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑔:(1...3)⟶ℙ) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
177176expcom 449 . . . . . . . . 9 (𝑔:(1...3)⟶ℙ → (𝑁 ∈ (ℤ12) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
17852, 177syl 17 . . . . . . . 8 (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → (𝑁 ∈ (ℤ12) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
179178com12 32 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) → ((𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))))
180179rexlimdv 3011 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ12) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
181180adantr 479 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
182181ad3antlr 762 . . . 4 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → (∃𝑔 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))(𝑁 − 3) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑔𝑘) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
18351, 182mpd 15 . . 3 ((((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) ∧ 𝑜 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ 𝑁 = (𝑜 + 3)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
184 evengpoap3 40013 . . . 4 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddALTV 𝑁 = (𝑜 + 3)))
185184imp 443 . . 3 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑜 ∈ GoldbachOddALTV 𝑁 = (𝑜 + 3))
186183, 185r19.29a 3059 . 2 ((∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ∧ (𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even )) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘))
187186ex 448 1 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((𝑁 ∈ (ℤ12) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...4))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...4)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  cun 3537  {csn 4124  cop 4130   class class class wbr 4577  dom cdm 5028  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  cc 9790  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  cmin 10117  2c2 10917  3c3 10918  4c4 10919  7c7 10922  8c8 10923  cz 11210  cdc 11325  cuz 11519  ...cfz 12152  ..^cfzo 12289  Σcsu 14210  cprime 15169   Even ceven 39873   Odd codd 39874   GoldbachOddALTV cgboa 39967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-inf 8209  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-9 10933  df-n0 11140  df-z 11211  df-dec 11326  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-dvds 14768  df-prm 15170  df-even 39875  df-odd 39876  df-gboa 39970
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