Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum4primesodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum4primesodd 42009
 Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 5 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 2-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesodd (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesodd
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (5 < 𝑚 ↔ 5 < 𝑁))
2 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
31, 2imbi12d 333 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
43rspcv 3336 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
54adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
6 eluz2 11731 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
7 5lt6 11242 . . . . . . . . 9 5 < 6
8 5re 11137 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
10 6re 11139 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
12 zre 11419 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13 ltletr 10167 . . . . . . . . . 10 ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
149, 11, 12, 13syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
157, 14mpani 712 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑁 → 5 < 𝑁))
1615imp 444 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
17163adant1 1099 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
186, 17sylbi 207 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → 5 < 𝑁)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 5 < 𝑁)
20 pm2.27 42 . . . 4 (5 < 𝑁 → ((5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
22 isgbow 41965 . . . . 5 (𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
23 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
24 2ex 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
25 3ex 11134 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ V
26 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑝 ∈ V
27 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑞 ∈ V
28 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟 ∈ V
29 1ne2 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
30 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 3
33 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
34 2lt3 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 3
3533, 34ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 3
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35ftp 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38 1p2e3 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 2) = 3
3938eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (1 + 2)
4039oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) = (1...(1 + 2))
41 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
42 fztp 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = 1
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → 1 = 1)
46 1p1e2 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
4945, 47, 48tpeq123d 4315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
5044, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
5140, 43, 503eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...3) = {1, 2, 3}
5251feq2i 6075 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
5337, 52sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54 df-3an 1056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
5526, 27, 28tpss 4400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5654, 55sylbb1 227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5753, 56fssd 6095 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58 prmex 15438 . . . . . . . . . . . . 13 ℙ ∈ V
59 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (1...3) ∈ V
6058, 59pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61 elmapg 7912 . . . . . . . . . . . 12 ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6357, 62mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)))
64 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6564sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6665eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6766adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6851a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
6968sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
7123, 26fvtp1 6501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
7229, 32, 71mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
7370, 72syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
7524, 27fvtp2 6502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
7629, 35, 75mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
7774, 76syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
7925, 28fvtp3 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
8032, 35, 79mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
8178, 80syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8382zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
8584zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
8786zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
8883, 85, 873anim123i 1266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89883expa 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
91 3z 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
9241, 90, 913pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
9429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
9532a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
9635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
9773, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96sumtp 14522 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
9869, 97eqtr2d 2686 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
9963, 67, 98rspcedvd 3348 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
100 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
101100rexbidv 3081 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
10299, 101syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
103102rexlimdva 3060 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
104103rexlimivv 3065 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
105104adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
10622, 105sylbi 207 . . . 4 (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
107106a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
1085, 21, 1073syld 60 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
109108com12 32 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  {ctp 4214  ⟨cop 4216   class class class wbr 4685  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑𝑚 cmap 7899  ℂcc 9972  ℝcr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112   ≤ cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  5c5 11111  6c6 11112  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  Σcsu 14460  ℙcprime 15432   Odd codd 41863   GoldbachOddW cgbow 41959 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-prm 15433  df-gbow 41962 This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  42013  wtgoldbnnsum4prm  42015  bgoldbnnsum3prm  42017
 Copyright terms: Public domain W3C validator