Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum4primesodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum4primesodd 42009
Description: If the (weak) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 5 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 2-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesodd (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesodd
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (5 < 𝑚 ↔ 5 < 𝑁))
2 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddW ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
31, 2imbi12d 333 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) ↔ (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
43rspcv 3336 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
54adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → (5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW )))
6 eluz2 11731 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) ↔ (6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁))
7 5lt6 11242 . . . . . . . . 9 5 < 6
8 5re 11137 . . . . . . . . . . 11 5 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 5 ∈ ℝ)
10 6re 11139 . . . . . . . . . . 11 6 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 6 ∈ ℝ)
12 zre 11419 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13 ltletr 10167 . . . . . . . . . 10 ((5 ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
149, 11, 12, 13syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((5 < 6 ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁))
157, 14mpani 712 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (6 ≤ 𝑁 → 5 < 𝑁))
1615imp 444 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
17163adant1 1099 . . . . . 6 ((6 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 6 ≤ 𝑁) → 5 < 𝑁)
186, 17sylbi 207 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘6) → 5 < 𝑁)
1918adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 5 < 𝑁)
20 pm2.27 42 . . . 4 (5 < 𝑁 → ((5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((5 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddW ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddW ))
22 isgbow 41965 . . . . 5 (𝑁 ∈ GoldbachOddW ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)))
23 1ex 10073 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ V
24 2ex 11130 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ V
25 3ex 11134 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ V
26 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑝 ∈ V
27 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑞 ∈ V
28 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑟 ∈ V
29 1ne2 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 2
30 1re 10077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 < 3
3230, 31ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≠ 3
33 2re 11128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℝ
34 2lt3 11233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 < 3
3533, 34ltneii 10188 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≠ 3
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35ftp 6464 . . . . . . . . . . . . . 14 {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38 1p2e3 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 + 2) = 3
3938eqcomi 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (1 + 2)
4039oveq2i 6701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) = (1...(1 + 2))
41 1z 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ ℤ
42 fztp 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 = 1
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → 1 = 1)
46 1p1e2 11172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 1) = 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
4945, 47, 48tpeq123d 4315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
5044, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
5140, 43, 503eqtri 2677 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...3) = {1, 2, 3}
5251feq2i 6075 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
5337, 52sylibr 224 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54 df-3an 1056 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
5526, 27, 28tpss 4400 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5654, 55sylbb1 227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5753, 56fssd 6095 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58 prmex 15438 . . . . . . . . . . . . 13 ℙ ∈ V
59 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (1...3) ∈ V
6058, 59pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . 12 (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61 elmapg 7912 . . . . . . . . . . . 12 ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6357, 62mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)))
64 fveq1 6228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6564sumeq2sdv 14479 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6665eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6766adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6851a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
6968sumeq1d 14475 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
7123, 26fvtp1 6501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
7229, 32, 71mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
7370, 72syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
7524, 27fvtp2 6502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
7629, 35, 75mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
7774, 76syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
7925, 28fvtp3 6503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
8032, 35, 79mp2an 708 . . . . . . . . . . . . 13 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
8178, 80syl6eq 2701 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8382zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
8584zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86 prmz 15436 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
8786zcnd 11521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
8883, 85, 873anim123i 1266 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89883expa 1284 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90 2z 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℤ
91 3z 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℤ
9241, 90, 913pm3.2i 1259 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
9429a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
9532a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
9635a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
9773, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96sumtp 14522 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
9869, 97eqtr2d 2686 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
9963, 67, 98rspcedvd 3348 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
100 eqeq1 2655 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
101100rexbidv 3081 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
10299, 101syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
103102rexlimdva 3060 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
104103rexlimivv 3065 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
105104adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
10622, 105sylbi 207 . . . 4 (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
107106a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddW → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
1085, 21, 1073syld 60 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
109108com12 32 1 (∀𝑚 ∈ Odd (5 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddW ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘6) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  wss 3607  {ctp 4214  cop 4216   class class class wbr 4685  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑚 cmap 7899  cc 9972  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  2c2 11108  3c3 11109  5c5 11111  6c6 11112  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  Σcsu 14460  cprime 15432   Odd codd 41863   GoldbachOddW cgbow 41959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-prm 15433  df-gbow 41962
This theorem is referenced by:  nnsum4primeseven  42013  wtgoldbnnsum4prm  42015  bgoldbnnsum3prm  42017
  Copyright terms: Public domain W3C validator