Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum4primesoddALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum4primesoddALTV 41004
Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 7 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesoddALTV (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesoddALTV
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4627 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (7 < 𝑚 ↔ 7 < 𝑁))
2 eleq1 2686 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
31, 2imbi12d 334 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ↔ (7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
43rspcv 3295 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → (7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
54adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → (7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
6 eluz2 11653 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘8) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁))
7 7lt8 11175 . . . . . . . . 9 7 < 8
8 7re 11063 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
10 8re 11065 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
12 zre 11341 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13 ltletr 10089 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
149, 11, 12, 13syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
157, 14mpani 711 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (8 ≤ 𝑁 → 7 < 𝑁))
1615imp 445 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
17163adant1 1077 . . . . . 6 ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
186, 17sylbi 207 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘8) → 7 < 𝑁)
1918adantr 481 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 7 < 𝑁)
20 pm2.27 42 . . . 4 (7 < 𝑁 → ((7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
22 isgboa 40966 . . . . 5 (𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
23 1ex 9995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
24 2ex 11052 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ V
25 3ex 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
26 vex 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
27 vex 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑞 ∈ V
28 vex 3193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟 ∈ V
29 1ne2 11200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 2
30 1re 9999 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
3230, 31ltneii 10110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 3
33 2re 11050 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
34 2lt3 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
3533, 34ltneii 10110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≠ 3
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35ftp 6389 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38 1p2e3 11112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 2) = 3
3938eqcomi 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (1 + 2)
4039oveq2i 6626 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...3) = (1...(1 + 2))
41 1z 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
42 fztp 12355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = 1
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 → 1 = 1)
46 1p1e2 11094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 + 1) = 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
4945, 47, 48tpeq123d 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
5044, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
5140, 43, 503eqtri 2647 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) = {1, 2, 3}
5251feq2i 6004 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
5337, 52sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
5526, 27, 28tpss 4343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5654, 55sylbb1 227 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5753, 56fssd 6024 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58 prmex 15334 . . . . . . . . . . . . . 14 ℙ ∈ V
59 ovex 6643 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...3) ∈ V
6058, 59pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . 13 (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61 elmapg 7830 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6357, 62mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)))
64 fveq1 6157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6564sumeq2sdv 14384 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6665eqeq2d 2631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6766adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6851a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
6968sumeq1d 14381 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
7123, 26fvtp1 6425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
7229, 32, 71mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
7370, 72syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
7524, 27fvtp2 6426 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
7629, 35, 75mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
7774, 76syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78 fveq2 6158 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
7925, 28fvtp3 6427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
8032, 35, 79mp2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
8178, 80syl6eq 2671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82 prmz 15332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8382zcnd 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84 prmz 15332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
8584zcnd 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86 prmz 15332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
8786zcnd 11443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
8883, 85, 873anim123i 1245 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89883expa 1262 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90 2z 11369 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
91 3z 11370 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℤ
9241, 90, 913pm3.2i 1237 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
9429a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
9532a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
9635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
9773, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96sumtp 14427 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
9869, 97eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
9963, 67, 98rspcedvd 3306 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
100 eqeq1 2625 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
101100rexbidv 3047 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
10299, 101syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
103102adantld 483 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
104103rexlimdva 3026 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
105104rexlimivv 3031 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
106105adantl 482 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
10722, 106sylbi 207 . . . 4 (𝑁 ∈ GoldbachOddALTV → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
108107a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddALTV → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
1095, 21, 1083syld 60 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
110109com12 32 1 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  Vcvv 3190  wss 3560  {ctp 4159  cop 4161   class class class wbr 4623  wf 5853  cfv 5857  (class class class)co 6615  𝑚 cmap 7817  cc 9894  cr 9895  1c1 9897   + caddc 9899   < clt 10034  cle 10035  2c2 11030  3c3 11031  7c7 11035  8c8 11036  cz 11337  cuz 11647  ...cfz 12284  Σcsu 14366  cprime 15328   Odd codd 40867   GoldbachOddALTV cgboa 40960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-inf2 8498  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-pre-sup 9974
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-1o 7520  df-oadd 7524  df-er 7702  df-map 7819  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-fin 7919  df-sup 8308  df-oi 8375  df-card 8725  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-nn 10981  df-2 11039  df-3 11040  df-4 11041  df-5 11042  df-6 11043  df-7 11044  df-8 11045  df-n0 11253  df-z 11338  df-uz 11648  df-rp 11793  df-fz 12285  df-fzo 12423  df-seq 12758  df-exp 12817  df-hash 13074  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-sqrt 13925  df-abs 13926  df-clim 14169  df-sum 14367  df-prm 15329  df-gboa 40963
This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  41008
  Copyright terms: Public domain W3C validator