Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nnsum4primesoddALTV Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsum4primesoddALTV 40018
Description: If the (strong) ternary Goldbach conjecture is valid, then every odd integer greater than 7 is the sum of 3 primes. (Contributed by AV, 26-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
nnsum4primesoddALTV (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Distinct variable group:   𝑓,𝑁,𝑘,𝑚

Proof of Theorem nnsum4primesoddALTV
Dummy variables 𝑝 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4581 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (7 < 𝑚 ↔ 7 < 𝑁))
2 eleq1 2675 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑁 → (𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ↔ 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
31, 2imbi12d 332 . . . . 5 (𝑚 = 𝑁 → ((7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) ↔ (7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
43rspcv 3277 . . . 4 (𝑁 ∈ Odd → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → (7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
54adantl 480 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → (7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV )))
6 eluz2 11525 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘8) ↔ (8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁))
7 7lt8 11062 . . . . . . . . 9 7 < 8
8 7re 10950 . . . . . . . . . . 11 7 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 7 ∈ ℝ)
10 8re 10952 . . . . . . . . . . 11 8 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 8 ∈ ℝ)
12 zre 11214 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
13 ltletr 9980 . . . . . . . . . 10 ((7 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
149, 11, 12, 13syl3anc 1317 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((7 < 8 ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁))
157, 14mpani 707 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (8 ≤ 𝑁 → 7 < 𝑁))
1615imp 443 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
17163adant1 1071 . . . . . 6 ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 7 < 𝑁)
186, 17sylbi 205 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘8) → 7 < 𝑁)
1918adantr 479 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → 7 < 𝑁)
20 pm2.27 40 . . . 4 (7 < 𝑁 → ((7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
2119, 20syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ((7 < 𝑁𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ) → 𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ))
22 isgboa 39980 . . . . 5 (𝑁 ∈ GoldbachOddALTV ↔ (𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))))
23 1ex 9891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
24 2ex 10939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ V
25 3ex 10943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ V
26 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑝 ∈ V
27 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑞 ∈ V
28 vex 3175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑟 ∈ V
29 1ne2 11087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 2
30 1re 9895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℝ
31 1lt3 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 3
3230, 31ltneii 10001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 3
33 2re 10937 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
34 2lt3 11042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
3533, 34ltneii 10001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ≠ 3
3623, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 32, 35ftp 6307 . . . . . . . . . . . . . . 15 {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟}
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
38 1p2e3 10999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 + 2) = 3
3938eqcomi 2618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 = (1 + 2)
4039oveq2i 6538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...3) = (1...(1 + 2))
41 1z 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 ∈ ℤ
42 fztp 12222 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 ∈ ℤ → (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)})
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...(1 + 2)) = {1, (1 + 1), (1 + 2)}
44 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 = 1
45 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 → 1 = 1)
46 1p1e2 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 + 1) = 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 → (1 + 1) = 2)
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (1 = 1 → (1 + 2) = 3)
4945, 47, 48tpeq123d 4226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 = 1 → {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3})
5044, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {1, (1 + 1), (1 + 2)} = {1, 2, 3}
5140, 43, 503eqtri 2635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...3) = {1, 2, 3}
5251feq2i 5936 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟} ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:{1, 2, 3}⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
5337, 52sylibr 222 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶{𝑝, 𝑞, 𝑟})
54 df-3an 1032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ))
5526, 27, 28tpss 4303 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ↔ {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5654, 55sylbb1 225 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {𝑝, 𝑞, 𝑟} ⊆ ℙ)
5753, 56fssd 5956 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ)
58 prmex 15175 . . . . . . . . . . . . . 14 ℙ ∈ V
59 ovex 6555 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...3) ∈ V
6058, 59pm3.2i 469 . . . . . . . . . . . . 13 (ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V)
61 elmapg 7734 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℙ ∈ V ∧ (1...3) ∈ V) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6260, 61mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)) ↔ {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}:(1...3)⟶ℙ))
6357, 62mpbird 245 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3)))
64 fveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (𝑓𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6564sumeq2sdv 14228 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
6665eqeq2d 2619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩} → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6766adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) ∧ 𝑓 = {⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}) → (((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘)))
6851a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1...3) = {1, 2, 3})
6968sumeq1d 14225 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
70 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1))
7123, 26fvtp1 6343 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ≠ 2 ∧ 1 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝)
7229, 32, 71mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘1) = 𝑝
7370, 72syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 1 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑝)
74 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2))
7524, 27fvtp2 6344 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ≠ 2 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞)
7629, 35, 75mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘2) = 𝑞
7774, 76syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 2 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑞)
78 fveq2 6088 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3))
7925, 28fvtp3 6345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ≠ 3 ∧ 2 ≠ 3) → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟)
8032, 35, 79mp2an 703 . . . . . . . . . . . . . 14 ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘3) = 𝑟
8178, 80syl6eq 2659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 3 → ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = 𝑟)
82 prmz 15173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
8382zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℂ)
84 prmz 15173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℤ)
8584zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑞 ∈ ℙ → 𝑞 ∈ ℂ)
86 prmz 15173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℤ)
8786zcnd 11315 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 ∈ ℙ → 𝑟 ∈ ℂ)
8883, 85, 873anim123i 1239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
89883expa 1256 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑝 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ ∧ 𝑟 ∈ ℂ))
90 2z 11242 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
91 3z 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ∈ ℤ
9241, 90, 913pm3.2i 1231 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ))
9429a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 2)
9532a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 1 ≠ 3)
9635a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → 2 ≠ 3)
9773, 77, 81, 89, 93, 94, 95, 96sumtp 14268 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → Σ𝑘 ∈ {1, 2, 3} ({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘) = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))
9869, 97eqtr2d 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)({⟨1, 𝑝⟩, ⟨2, 𝑞⟩, ⟨3, 𝑟⟩}‘𝑘))
9963, 67, 98rspcedvd 3288 . . . . . . . . . 10 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
100 eqeq1 2613 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
101100rexbidv 3033 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → (∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘) ↔ ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
10299, 101syl5ibrcom 235 . . . . . . . . 9 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
103102adantld 481 . . . . . . . 8 (((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) ∧ 𝑟 ∈ ℙ) → (((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
104103rexlimdva 3012 . . . . . . 7 ((𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑞 ∈ ℙ) → (∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
105104rexlimivv 3017 . . . . . 6 (∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟)) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
106105adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 ∈ Odd ∧ ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ ∃𝑟 ∈ ℙ ((𝑝 ∈ Odd ∧ 𝑞 ∈ Odd ∧ 𝑟 ∈ Odd ) ∧ 𝑁 = ((𝑝 + 𝑞) + 𝑟))) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
10722, 106sylbi 205 . . . 4 (𝑁 ∈ GoldbachOddALTV → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘))
108107a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (𝑁 ∈ GoldbachOddALTV → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
1095, 21, 1083syld 57 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
110109com12 32 1 (∀𝑚 ∈ Odd (7 < 𝑚𝑚 ∈ GoldbachOddALTV ) → ((𝑁 ∈ (ℤ‘8) ∧ 𝑁 ∈ Odd ) → ∃𝑓 ∈ (ℙ ↑𝑚 (1...3))𝑁 = Σ𝑘 ∈ (1...3)(𝑓𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wral 2895  wrex 2896  Vcvv 3172  wss 3539  {ctp 4128  cop 4130   class class class wbr 4577  wf 5786  cfv 5790  (class class class)co 6527  𝑚 cmap 7721  cc 9790  cr 9791  1c1 9793   + caddc 9795   < clt 9930  cle 9931  2c2 10917  3c3 10918  7c7 10922  8c8 10923  cz 11210  cuz 11519  ...cfz 12152  Σcsu 14210  cprime 15169   Odd codd 39881   GoldbachOddALTV cgboa 39974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2232  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-4 10928  df-5 10929  df-6 10930  df-7 10931  df-8 10932  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-prm 15170  df-gboa 39977
This theorem is referenced by:  nnsum4primesevenALTV  40022
  Copyright terms: Public domain W3C validator