MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnunb 11043
Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 921 . . . 4 ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
2 peano2rem 10099 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3 ltm1 10612 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
4 ovex 6454 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 − 1) ∈ V
5 eleq1 2580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 1) ∈ ℝ))
6 breq1 4484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
7 breq1 4484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
87rexbidv 2938 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
96, 8imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
105, 9imbi12d 332 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) ↔ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))))
114, 10spcv 3176 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
123, 11syl7 71 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
132, 12syl5 33 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
1413pm2.43d 50 . . . . . . . . 9 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
15 df-rex 2806 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧))
1614, 15syl6ib 239 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
1716com12 32 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
18 nnre 10782 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
19 1re 9794 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
20 ltsubadd 10247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2119, 20mp3an2 1403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2218, 21sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2322pm5.32da 670 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
2423exbidv 1803 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
25 peano2nn 10787 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
26 ovex 6454 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 + 1) ∈ V
27 eleq1 2580 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑧 + 1) ∈ ℕ))
28 breq2 4485 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝑧 + 1)))
2927, 28anbi12d 742 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
3026, 29spcev 3177 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3125, 30sylan 486 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3231exlimiv 1811 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3324, 32syl6bi 241 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
3417, 33syld 45 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
35 df-ral 2805 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
36 df-ral 2805 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦))
37 alinexa 1747 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3836, 37bitr2i 263 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
3938con1bii 344 . . . . . 6 (¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
4034, 35, 393imtr4g 283 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦))
4140anim2d 586 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)))
421, 41mtoi 188 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
4342nrex 2887 . 2 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧))
44 nnssre 10779 . . 3 ℕ ⊆ ℝ
45 1nn 10786 . . . . 5 1 ∈ ℕ
4645n0ii 3784 . . . 4 ¬ ℕ = ∅
4746neir 2689 . . 3 ℕ ≠ ∅
48 sup2 10732 . . 3 ((ℕ ⊆ ℝ ∧ ℕ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
4944, 47, 48mp3an12 1405 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
5043, 49mto 186 1 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  wal 1472   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1938  wne 2684  wral 2800  wrex 2801  wss 3444  c0 3777   class class class wbr 4481  (class class class)co 6426  cr 9690  1c1 9692   + caddc 9694   < clt 9829  cmin 10017  cn 10775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768  ax-pre-sup 9769
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776
This theorem is referenced by:  arch  11044
  Copyright terms: Public domain W3C validator