MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnunb 11326
Description: The set of positive integers is unbounded above. Theorem I.28 of [Apostol] p. 26. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
nnunb ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem nnunb
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pm3.24 944 . . . 4 ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
2 peano2rem 10386 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
3 ltm1 10901 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
4 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 − 1) ∈ V
5 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 ∈ ℝ ↔ (𝑥 − 1) ∈ ℝ))
6 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
7 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑧 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑧))
87rexbidv 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
96, 8imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
105, 9imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 − 1) → ((𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) ↔ ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))))
114, 10spcv 3330 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → ((𝑥 − 1) < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
123, 11syl7 74 . . . . . . . . . . 11 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ((𝑥 − 1) ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
132, 12syl5 34 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
1413pm2.43d 53 . . . . . . . . 9 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧))
15 df-rex 2947 . . . . . . . . 9 (∃𝑧 ∈ ℕ (𝑥 − 1) < 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧))
1614, 15syl6ib 241 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
1716com12 32 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧)))
18 nnre 11065 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
19 1re 10077 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
20 ltsubadd 10536 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2119, 20mp3an2 1452 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2218, 21sylan2 490 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑥 − 1) < 𝑧𝑥 < (𝑧 + 1)))
2322pm5.32da 674 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ (𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
2423exbidv 1890 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
25 peano2nn 11070 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 + 1) ∈ ℕ)
26 ovex 6718 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 + 1) ∈ V
27 eleq1 2718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑦 ∈ ℕ ↔ (𝑧 + 1) ∈ ℕ))
28 breq2 4689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑧 + 1) → (𝑥 < 𝑦𝑥 < (𝑧 + 1)))
2927, 28anbi12d 747 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 + 1) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1))))
3026, 29spcev 3331 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3125, 30sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3231exlimiv 1898 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝑧 + 1)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3324, 32syl6bi 243 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑧(𝑧 ∈ ℕ ∧ (𝑥 − 1) < 𝑧) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
3417, 33syld 47 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦)))
35 df-ral 2946 . . . . . 6 (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
36 df-ral 2946 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦))
37 alinexa 1810 . . . . . . . 8 (∀𝑦(𝑦 ∈ ℕ → ¬ 𝑥 < 𝑦) ↔ ¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
3836, 37bitr2i 265 . . . . . . 7 (¬ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)
3938con1bii 345 . . . . . 6 (¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑥 < 𝑦))
4034, 35, 393imtr4g 285 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧) → ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦))
4140anim2d 588 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)) → (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ¬ ∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦)))
421, 41mtoi 190 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → ¬ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
4342nrex 3029 . 2 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧))
44 nnssre 11062 . . 3 ℕ ⊆ ℝ
45 1nn 11069 . . . . 5 1 ∈ ℕ
4645n0ii 3955 . . . 4 ¬ ℕ = ∅
4746neir 2826 . . 3 ℕ ≠ ∅
48 sup2 11017 . . 3 ((ℕ ⊆ ℝ ∧ ℕ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
4944, 47, 48mp3an12 1454 . 2 (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ ℕ ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ ℕ 𝑦 < 𝑧)))
5043, 49mto 188 1 ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℕ (𝑦 < 𝑥𝑦 = 𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wal 1521   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  cr 9973  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  cmin 10304  cn 11058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059
This theorem is referenced by:  arch  11327
  Copyright terms: Public domain W3C validator