MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnunifi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnunifi 8163
Description: The union (supremum) of a finite set of finite ordinals is a finite ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnunifi ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)

Proof of Theorem nnunifi
StepHypRef Expression
1 unieq 4415 . . . 4 (𝑆 = ∅ → 𝑆 = ∅)
2 uni0 4436 . . . . 5 ∅ = ∅
3 peano1 7039 . . . . 5 ∅ ∈ ω
42, 3eqeltri 2694 . . . 4 ∅ ∈ ω
51, 4syl6eqel 2706 . . 3 (𝑆 = ∅ → 𝑆 ∈ ω)
65adantl 482 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 = ∅) → 𝑆 ∈ ω)
7 simpll 789 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ω)
8 omsson 7023 . . . . 5 ω ⊆ On
97, 8syl6ss 3599 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ On)
10 simplr 791 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ Fin)
11 simpr 477 . . . 4 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ≠ ∅)
12 ordunifi 8162 . . . 4 ((𝑆 ⊆ On ∧ 𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
139, 10, 11, 12syl3anc 1323 . . 3 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆𝑆)
147, 13sseldd 3588 . 2 (((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) ∧ 𝑆 ≠ ∅) → 𝑆 ∈ ω)
156, 14pm2.61dane 2877 1 ((𝑆 ⊆ ω ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wss 3559  c0 3896   cuni 4407  Oncon0 5687  ωcom 7019  Fincfn 7907
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-br 4619  df-opab 4679  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-om 7020  df-1o 7512  df-er 7694  df-en 7908  df-fin 7911
This theorem is referenced by:  ackbij1lem16  9009  isf32lem5  9131  finxpreclem4  32898
  Copyright terms: Public domain W3C validator