Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nobndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nobndlem3 31610
Description: Lemma for nobndup 31616 and nobnddown 31617. Calculate the birthday of (𝐶 × {𝑋}). (Contributed by Scott Fenton, 17-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nobndlem2.1 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
nobndlem2.2 𝐶 = {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋}
Assertion
Ref Expression
nobndlem3 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎,𝑏,𝑛   𝑋,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑎,𝑏)   𝐶(𝑛,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑛)

Proof of Theorem nobndlem3
StepHypRef Expression
1 nobndlem2.1 . . . 4 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
2 nobndlem2.2 . . . 4 𝐶 = {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋}
31, 2nobndlem2 31609 . . 3 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → 𝐶 ∈ On)
41noxpsgn 31572 . . 3 (𝐶 ∈ On → (𝐶 × {𝑋}) ∈ No )
5 bdayval 31555 . . 3 ((𝐶 × {𝑋}) ∈ No → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = dom (𝐶 × {𝑋}))
63, 4, 53syl 18 . 2 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = dom (𝐶 × {𝑋}))
71elexi 3203 . . . 4 𝑋 ∈ V
87snnz 4286 . . 3 {𝑋} ≠ ∅
9 dmxp 5314 . . 3 ({𝑋} ≠ ∅ → dom (𝐶 × {𝑋}) = 𝐶)
108, 9ax-mp 5 . 2 dom (𝐶 × {𝑋}) = 𝐶
116, 10syl6eq 2671 1 ((𝐹 No 𝐹𝐴) → ( bday ‘(𝐶 × {𝑋})) = 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2908  wrex 2909  {crab 2912  wss 3560  c0 3897  {csn 4155  {cpr 4157   cint 4447   × cxp 5082  dom cdm 5084  Oncon0 5692  cfv 5857  1𝑜c1o 7513  2𝑜c2o 7514   No csur 31547   bday cbday 31549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-1o 7520  df-2o 7521  df-no 31550  df-bday 31552
This theorem is referenced by:  nobndlem8  31615
  Copyright terms: Public domain W3C validator