Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nobndlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nobndlem5 31594
Description: Lemma for nobndup 31598 and nobnddown 31599. There is always a minimal value of a surreal that is not a given sign. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Hypothesis
Ref Expression
nobndlem4.1 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
Assertion
Ref Expression
nobndlem5 (𝐴 No → (𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}) ≠ 𝑋)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑋

Proof of Theorem nobndlem5
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3671 . . . 4 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ⊆ On
2 nobndlem4.1 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
32nosgnn0i 31548 . . . . . . 7 ∅ ≠ 𝑋
4 fvnobday 31580 . . . . . . . 8 (𝐴 No → (𝐴‘( bday 𝐴)) = ∅)
54neeq1d 2849 . . . . . . 7 (𝐴 No → ((𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋 ↔ ∅ ≠ 𝑋))
63, 5mpbiri 248 . . . . . 6 (𝐴 No → (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋)
7 bdayelon 31578 . . . . . . 7 ( bday 𝐴) ∈ On
8 fveq2 6153 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ( bday 𝐴) → (𝐴𝑥) = (𝐴‘( bday 𝐴)))
98neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑥 = ( bday 𝐴) → ((𝐴𝑥) ≠ 𝑋 ↔ (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋))
109elrab3 3351 . . . . . . 7 (( bday 𝐴) ∈ On → (( bday 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ↔ (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋))
117, 10ax-mp 5 . . . . . 6 (( bday 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ↔ (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋)
126, 11sylibr 224 . . . . 5 (𝐴 No → ( bday 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋})
13 ne0i 3902 . . . . 5 (( bday 𝐴) ∈ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ≠ ∅)
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐴 No → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ≠ ∅)
15 onint 6949 . . . 4 (({𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ⊆ On ∧ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ≠ ∅) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋})
161, 14, 15sylancr 694 . . 3 (𝐴 No {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋})
17 nfrab1 3114 . . . . 5 𝑥{𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}
1817nfint 4456 . . . 4 𝑥 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}
19 nfcv 2761 . . . 4 𝑥On
20 nfcv 2761 . . . . . 6 𝑥𝐴
2120, 18nffv 6160 . . . . 5 𝑥(𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋})
22 nfcv 2761 . . . . 5 𝑥𝑋
2321, 22nfne 2890 . . . 4 𝑥(𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}) ≠ 𝑋
24 fveq2 6153 . . . . 5 (𝑥 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} → (𝐴𝑥) = (𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}))
2524neeq1d 2849 . . . 4 (𝑥 = {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} → ((𝐴𝑥) ≠ 𝑋 ↔ (𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}) ≠ 𝑋))
2618, 19, 23, 25elrabf 3347 . . 3 ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ↔ ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On ∧ (𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}) ≠ 𝑋))
2716, 26sylib 208 . 2 (𝐴 No → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On ∧ (𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}) ≠ 𝑋))
2827simprd 479 1 (𝐴 No → (𝐴 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋}) ≠ 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  {crab 2911  wss 3559  c0 3896  {cpr 4155   cint 4445  Oncon0 5687  cfv 5852  1𝑜c1o 7505  2𝑜c2o 7506   No csur 31529   bday cbday 31531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-ord 5690  df-on 5691  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-1o 7512  df-2o 7513  df-no 31532  df-bday 31534
This theorem is referenced by:  nobndup  31598  nobnddown  31599
  Copyright terms: Public domain W3C validator