Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nobndlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nobndlem6 31557
 Description: Lemma for nobndup 31560 and nobnddown 31561. Given an element 𝐴 of 𝐹, then the first position where it differs from 𝑋 is strictly less than 𝐶. (Contributed by Scott Fenton, 3-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
nobndlem6.1 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
nobndlem6.2 𝐶 = {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋}
Assertion
Ref Expression
nobndlem6 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑥   𝐹,𝑎,𝑏   𝑋,𝑎,𝑏,𝑥   𝑛,𝑋,𝑎,𝑏   𝐴,𝑛   𝑛,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem nobndlem6
StepHypRef Expression
1 bdayelon 31540 . . . . 5 ( bday 𝐴) ∈ On
2 ssel2 3578 . . . . . 6 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → 𝐴 No )
3 nobndlem6.1 . . . . . . . 8 𝑋 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
43nosgnn0i 31510 . . . . . . 7 ∅ ≠ 𝑋
5 fvnobday 31542 . . . . . . . 8 (𝐴 No → (𝐴‘( bday 𝐴)) = ∅)
65neeq1d 2849 . . . . . . 7 (𝐴 No → ((𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋 ↔ ∅ ≠ 𝑋))
74, 6mpbiri 248 . . . . . 6 (𝐴 No → (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋)
82, 7syl 17 . . . . 5 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋)
9 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = ( bday 𝐴) → (𝐴𝑥) = (𝐴‘( bday 𝐴)))
109neeq1d 2849 . . . . . 6 (𝑥 = ( bday 𝐴) → ((𝐴𝑥) ≠ 𝑋 ↔ (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋))
1110rspcev 3295 . . . . 5 ((( bday 𝐴) ∈ On ∧ (𝐴‘( bday 𝐴)) ≠ 𝑋) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ 𝑋)
121, 8, 11sylancr 694 . . . 4 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → ∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ 𝑋)
13 onintrab2 6949 . . . 4 (∃𝑥 ∈ On (𝐴𝑥) ≠ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On)
1412, 13sylib 208 . . 3 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On)
15 fveq1 6147 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝐴 → (𝑛𝑏) = (𝐴𝑏))
1615neeq1d 2849 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝐴 → ((𝑛𝑏) ≠ 𝑋 ↔ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋))
1716rexbidv 3045 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝐴 → (∃𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋 ↔ ∃𝑏𝑎 (𝐴𝑏) ≠ 𝑋))
1817rspcv 3291 . . . . . 6 (𝐴𝐹 → (∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋 → ∃𝑏𝑎 (𝐴𝑏) ≠ 𝑋))
1918ad2antlr 762 . . . . 5 (((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) → (∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋 → ∃𝑏𝑎 (𝐴𝑏) ≠ 𝑋))
2014ad2antrr 761 . . . . . . 7 ((((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑏𝑎 ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋)) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On)
21 simplr 791 . . . . . . 7 ((((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑏𝑎 ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋)) → 𝑎 ∈ On)
22 onelon 5707 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏𝑎) → 𝑏 ∈ On)
2322anim1i 591 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ On ∧ 𝑏𝑎) ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋) → (𝑏 ∈ On ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋))
2423anasss 678 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ On ∧ (𝑏𝑎 ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋)) → (𝑏 ∈ On ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋))
25 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑏 → (𝐴𝑥) = (𝐴𝑏))
2625neeq1d 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → ((𝐴𝑥) ≠ 𝑋 ↔ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋))
2726intminss 4468 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ On ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ⊆ 𝑏)
2824, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ On ∧ (𝑏𝑎 ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋)) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ⊆ 𝑏)
2928adantll 749 . . . . . . 7 ((((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑏𝑎 ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋)) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ⊆ 𝑏)
30 simprl 793 . . . . . . 7 ((((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑏𝑎 ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋)) → 𝑏𝑎)
31 ontr2 5731 . . . . . . . 8 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) → (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ⊆ 𝑏𝑏𝑎) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎))
3231imp 445 . . . . . . 7 ((( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ⊆ 𝑏𝑏𝑎)) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎)
3320, 21, 29, 30, 32syl22anc 1324 . . . . . 6 ((((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) ∧ (𝑏𝑎 ∧ (𝐴𝑏) ≠ 𝑋)) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎)
3433rexlimdvaa 3025 . . . . 5 (((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) → (∃𝑏𝑎 (𝐴𝑏) ≠ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎))
3519, 34syld 47 . . . 4 (((𝐹 No 𝐴𝐹) ∧ 𝑎 ∈ On) → (∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎))
3635ralrimiva 2960 . . 3 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → ∀𝑎 ∈ On (∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎))
37 elintrabg 4454 . . . 4 ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On → ( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋} ↔ ∀𝑎 ∈ On (∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎)))
3837biimpar 502 . . 3 (( {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ On ∧ ∀𝑎 ∈ On (∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋 {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝑎)) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋})
3914, 36, 38syl2anc 692 . 2 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋})
40 nobndlem6.2 . 2 𝐶 = {𝑎 ∈ On ∣ ∀𝑛𝐹𝑏𝑎 (𝑛𝑏) ≠ 𝑋}
4139, 40syl6eleqr 2709 1 ((𝐹 No 𝐴𝐹) → {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴𝑥) ≠ 𝑋} ∈ 𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987   ≠ wne 2790  ∀wral 2907  ∃wrex 2908  {crab 2911   ⊆ wss 3555  ∅c0 3891  {cpr 4150  ∩ cint 4440  Oncon0 5682  ‘cfv 5847  1𝑜c1o 7498  2𝑜c2o 7499   No csur 31491   bday cbday 31493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-ord 5685  df-on 5686  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-1o 7505  df-2o 7506  df-no 31494  df-bday 31496 This theorem is referenced by:  nobndlem7  31558  nobndup  31560  nobnddown  31561
 Copyright terms: Public domain W3C validator