Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nodmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nodmon 30850
Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nodmon (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elno 30846 . 2 (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
2 fdm 5947 . . . . 5 (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 = 𝑥)
32eleq1d 2668 . . . 4 (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
43biimprcd 238 . . 3 (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 ∈ On))
54rexlimiv 3005 . 2 (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 ∈ On)
61, 5sylbi 205 1 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1976  wrex 2893  {cpr 4123  dom cdm 5025  Oncon0 5623  wf 5783  1𝑜c1o 7414  2𝑜c2o 7415   No csur 30840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pr 4825
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-no 30843
This theorem is referenced by:  nodmord  30853  elno2  30854  noseponlem  30868  bdayfo  30877  nodenselem5  30887
  Copyright terms: Public domain W3C validator