Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nodmon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nodmon 32130
Description: The domain of a surreal is an ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
nodmon (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)

Proof of Theorem nodmon
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elno 32126 . 2 (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
2 fdm 6212 . . . . 5 (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 = 𝑥)
32eleq1d 2824 . . . 4 (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → (dom 𝐴 ∈ On ↔ 𝑥 ∈ On))
43biimprcd 240 . . 3 (𝑥 ∈ On → (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 ∈ On))
54rexlimiv 3165 . 2 (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → dom 𝐴 ∈ On)
61, 5sylbi 207 1 (𝐴 No → dom 𝐴 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2139  wrex 3051  {cpr 4323  dom cdm 5266  Oncon0 5884  wf 6045  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724   No csur 32120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-no 32123
This theorem is referenced by:  nodmord  32133  elno2  32134  noseponlem  32144  noextend  32146  noextendseq  32147  noextenddif  32148  noextendlt  32149  noextendgt  32150  bdayfo  32155  nosepssdm  32163  nolt02olem  32171  nosupno  32176  nosupres  32180  nosupbnd1lem1  32181  nosupbnd1lem2  32182  nosupbnd1lem3  32183  nosupbnd1lem4  32184  nosupbnd1lem5  32185  nosupbnd1lem6  32186  nosupbnd1  32187  nosupbnd2lem1  32188  nosupbnd2  32189  noetalem2  32191  noetalem3  32192
  Copyright terms: Public domain W3C validator