Users' Mathboxes Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noetalem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noetalem2 31989
Description: Lemma for noeta 31993. 𝑍 is an upper bound for 𝐴. Part of Theorem 5.1 of [Lipparini] p. 7-8. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
noetalem.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
noetalem.2 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
Assertion
Ref Expression
noetalem2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝑋,𝑣,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑋(𝑔)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)

Proof of Theorem noetalem2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1084 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 No )
2 simpl2 1085 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝐴 ∈ V)
3 simpr 476 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
4 noetalem.1 . . . . 5 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
54nosupbnd1 31985 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
61, 2, 3, 5syl3anc 1366 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)
7 noetalem.2 . . . . . 6 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}))
87reseq1i 5424 . . . . 5 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾ dom 𝑆)
9 resundir 5446 . . . . . 6 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆))
10 df-res 5155 . . . . . . . 8 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆) = (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V))
11 incom 3838 . . . . . . . . . 10 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆))
12 disjdif 4073 . . . . . . . . . 10 (dom 𝑆 ∩ (suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅
1311, 12eqtri 2673 . . . . . . . . 9 ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅
14 xpdisj1 5590 . . . . . . . . 9 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩ (dom 𝑆 × V)) = ∅
1610, 15eqtri 2673 . . . . . . 7 (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆) = ∅
1716uneq2i 3797 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾ dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅)
18 un0 4000 . . . . . 6 ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
199, 17, 183eqtri 2677 . . . . 5 ((𝑆 ∪ ((suc ( bday 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
208, 19eqtri 2673 . . . 4 (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆)
214nosupno 31974 . . . . . . 7 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
221, 2, 21syl2anc 694 . . . . . 6 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑆 No )
23 nofun 31927 . . . . . 6 (𝑆 No → Fun 𝑆)
2422, 23syl 17 . . . . 5 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → Fun 𝑆)
25 funrel 5943 . . . . 5 (Fun 𝑆 → Rel 𝑆)
26 resdm 5476 . . . . 5 (Rel 𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2724, 25, 263syl 18 . . . 4 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
2820, 27syl5eq 2697 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)
296, 28breqtrrd 4713 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → (𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆))
30 simp1 1081 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 No )
3130sselda 3636 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 No )
324, 7noetalem1 31988 . . . 4 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝑍 No )
3332adantr 480 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑍 No )
34 nodmon 31928 . . . 4 (𝑆 No → dom 𝑆 ∈ On)
3522, 34syl 17 . . 3 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → dom 𝑆 ∈ On)
36 sltres 31940 . . 3 ((𝑋 No 𝑍 No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
3731, 33, 35, 36syl3anc 1366 . 2 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → ((𝑋 ↾ dom 𝑆) <s (𝑍 ↾ dom 𝑆) → 𝑋 <s 𝑍))
3829, 37mpd 15 1 (((𝐴 No 𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 <s 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  {cab 2637  wral 2941  wrex 2942  Vcvv 3231  cdif 3604  cun 3605  cin 3606  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  {csn 4210  cop 4216   cuni 4468   class class class wbr 4685  cmpt 4762   × cxp 5141  dom cdm 5143  cres 5145  cima 5146  Rel wrel 5148  Oncon0 5761  suc csuc 5763  cio 5887  Fun wfun 5920  cfv 5926  crio 6650  1𝑜c1o 7598  2𝑜c2o 7599   No csur 31918   <s cslt 31919   bday cbday 31920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-1o 7605  df-2o 7606  df-no 31921  df-slt 31922  df-bday 31923
This theorem is referenced by:  noetalem5  31992
  Copyright terms: Public domain W3C validator