Mathbox for Scott Fenton < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  noreson Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem noreson 32140
 Description: The restriction of a surreal to an ordinal is still a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 4-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
noreson ((𝐴 No 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem noreson
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elno 32126 . . 3 (𝐴 No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
2 onin 5915 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥𝐵) ∈ On)
3 fresin 6234 . . . . . . . 8 (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → (𝐴𝐵):(𝑥𝐵)⟶{1𝑜, 2𝑜})
4 feq2 6188 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝑥𝐵) → ((𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ (𝐴𝐵):(𝑥𝐵)⟶{1𝑜, 2𝑜}))
54rspcev 3449 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐵) ∈ On ∧ (𝐴𝐵):(𝑥𝐵)⟶{1𝑜, 2𝑜}) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
62, 3, 5syl2an 495 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
76an32s 881 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
87ex 449 . . . . 5 ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) → (𝐵 ∈ On → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜}))
98rexlimiva 3166 . . . 4 (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → (𝐵 ∈ On → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜}))
109imp 444 . . 3 ((∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
111, 10sylanb 490 . 2 ((𝐴 No 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
12 elno 32126 . 2 ((𝐴𝐵) ∈ No ↔ ∃𝑦 ∈ On (𝐴𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
1311, 12sylibr 224 1 ((𝐴 No 𝐵 ∈ On) → (𝐴𝐵) ∈ No )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 2139  ∃wrex 3051   ∩ cin 3714  {cpr 4323   ↾ cres 5268  Oncon0 5884  ⟶wf 6045  1𝑜c1o 7723  2𝑜c2o 7724   No csur 32120 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pr 5055 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-no 32123 This theorem is referenced by:  sltres  32142  nodenselem6  32166  noresle  32173  nosupbnd1lem1  32181  nosupbnd1lem2  32182  nosupbnd1lem6  32186  nosupbnd1  32187  nosupbnd2lem1  32188  nosupbnd2  32189  noetalem3  32192
 Copyright terms: Public domain W3C validator