HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm-iii-i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm-iii-i 27842
Description: Theorem 3.3(iii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm-iii.1 𝐴 ∈ ℂ
norm-iii.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm-iii-i (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))

Proof of Theorem norm-iii-i
StepHypRef Expression
1 norm-iii.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℂ
2 norm-iii.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
31, 1, 2, 2his35i 27792 . . . 4 ((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)) = ((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))
43fveq2i 6151 . . 3 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵)))
51cjmulrcli 13851 . . . 4 (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ
6 hiidrcl 27798 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ)
72, 6ax-mp 5 . . . 4 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℝ
81cjmulge0i 13853 . . . 4 0 ≤ (𝐴 · (∗‘𝐴))
9 hiidge0 27801 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵))
102, 9ax-mp 5 . . . 4 0 ≤ (𝐵 ·ih 𝐵)
115, 7, 8, 10sqrtmulii 14060 . . 3 (√‘((𝐴 · (∗‘𝐴)) · (𝐵 ·ih 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
124, 11eqtri 2643 . 2 (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
131, 2hvmulcli 27717 . . 3 (𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ
14 normval 27827 . . 3 ((𝐴 · 𝐵) ∈ ℋ → (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵))))
1513, 14ax-mp 5 . 2 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = (√‘((𝐴 · 𝐵) ·ih (𝐴 · 𝐵)))
16 absval 13912 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))))
171, 16ax-mp 5 . . 3 (abs‘𝐴) = (√‘(𝐴 · (∗‘𝐴)))
18 normval 27827 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
192, 18ax-mp 5 . . 3 (norm𝐵) = (√‘(𝐵 ·ih 𝐵))
2017, 19oveq12i 6616 . 2 ((abs‘𝐴) · (norm𝐵)) = ((√‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) · (√‘(𝐵 ·ih 𝐵)))
2112, 15, 203eqtr4i 2653 1 (norm‘(𝐴 · 𝐵)) = ((abs‘𝐴) · (norm𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987   class class class wbr 4613  cfv 5847  (class class class)co 6604  cc 9878  cr 9879  0cc0 9880   · cmul 9885  cle 10019  ccj 13770  csqrt 13907  abscabs 13908  chil 27622   · csm 27624   ·ih csp 27625  normcno 27626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-hv0cl 27706  ax-hfvmul 27708  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his3 27787  ax-his4 27788
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-hnorm 27671
This theorem is referenced by:  norm-iii  27843  normsubi  27844  normpar2i  27859
  Copyright terms: Public domain W3C validator