Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm1 28234
 Description: From any nonzero Hilbert space vector, construct a vector whose norm is 1. (Contributed by NM, 7-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
norm1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)

Proof of Theorem norm1
StepHypRef Expression
1 normcl 28110 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℝ)
21adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℝ)
3 normne0 28115 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → ((norm𝐴) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
43biimpar 501 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ≠ 0)
52, 4rereccld 10890 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℝ)
65recnd 10106 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ)
7 simpl 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℋ)
8 norm-iii 28125 . . 3 (((1 / (norm𝐴)) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)))
96, 7, 8syl2anc 694 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)))
10 normgt0 28112 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 ≠ 0 ↔ 0 < (norm𝐴)))
1110biimpa 500 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 < (norm𝐴))
12 1re 10077 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
13 0le1 10589 . . . . . 6 0 ≤ 1
14 divge0 10930 . . . . . 6 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴))) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
1512, 13, 14mpanl12 718 . . . . 5 (((norm𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (norm𝐴)) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
162, 11, 15syl2anc 694 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → 0 ≤ (1 / (norm𝐴)))
175, 16absidd 14205 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (abs‘(1 / (norm𝐴))) = (1 / (norm𝐴)))
1817oveq1d 6705 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((abs‘(1 / (norm𝐴))) · (norm𝐴)) = ((1 / (norm𝐴)) · (norm𝐴)))
191recnd 10106 . . . 4 (𝐴 ∈ ℋ → (norm𝐴) ∈ ℂ)
2019adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm𝐴) ∈ ℂ)
2120, 4recid2d 10835 . 2 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((1 / (norm𝐴)) · (norm𝐴)) = 1)
229, 18, 213eqtrd 2689 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (norm‘((1 / (norm𝐴)) · 𝐴)) = 1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   · cmul 9979   < clt 10112   ≤ cle 10113   / cdiv 10722  abscabs 14018   ℋchil 27904   ·ℎ csm 27906  normℎcno 27908  0ℎc0v 27909 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-hv0cl 27988  ax-hfvmul 27990  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his3 28069  ax-his4 28070 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-seq 12842  df-exp 12901  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-hnorm 27953 This theorem is referenced by:  norm1exi  28235  nmlnop0iALT  28982  nmbdoplbi  29011  nmcoplbi  29015  nmbdfnlbi  29036  nmcfnlbi  29039  branmfn  29092
 Copyright terms: Public domain W3C validator