Theorem norm1exi 29029

Description: A normalized vector exists in a subspace iff the subspace has a nonzero vector. (Contributed by NM, 9-Apr-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
norm1ex.1	⊢ 𝐻 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
norm1exi	⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑦,𝐻

Proof of Theorem norm1exi

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neeq1 3080	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
2	1	cbvrexvw 3452	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
3		norm1ex.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐻 ∈ Sℋ
4	3	sheli 28993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → 𝑧 ∈ ℋ)
5		normcl 28904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
7	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ∈ ℝ)
8		normne0 28909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
9	4, 8	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑧) ≠ 0 ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
10	9	biimpar 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘𝑧) ≠ 0)
11	7, 10	rereccld 11469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℝ)
12	11	recnd 10671	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ)
13		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → 𝑧 ∈ 𝐻)
14		shmulcl 28997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐻 ∈ Sℋ ∧ (1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
15	3, 14	mp3an1 1444	. . . . . 6 ⊢ (((1 / (normℎ‘𝑧)) ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ 𝐻) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
16	12, 13, 15	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻)
17		norm1 29028	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
18	4, 17	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1)
19		fveqeq2 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = ((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) → ((normℎ‘𝑦) = 1 ↔ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1))
20	19	rspcev 3625	. . . . 5 ⊢ ((((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧) ∈ 𝐻 ∧ (normℎ‘((1 / (normℎ‘𝑧)) ·ℎ 𝑧)) = 1) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
21	16, 18, 20	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝐻 ∧ 𝑧 ≠ 0ℎ) → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
22	21	rexlimiva 3283	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ → ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
23		ax-1ne0 10608	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
24	23	neii 3020	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 1 = 0
25		eqeq1 2827	. . . . . . 7 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 1 = 0))
26	24, 25	mtbiri 329	. . . . . 6 ⊢ ((normℎ‘𝑦) = 1 → ¬ (normℎ‘𝑦) = 0)
27	3	sheli 28993	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → 𝑦 ∈ ℋ)
28		norm-i 28908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 = 0ℎ))
30	29	necon3bbid 3055	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → (¬ (normℎ‘𝑦) = 0 ↔ 𝑦 ≠ 0ℎ))
31	26, 30	syl5ib 246	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐻 → ((normℎ‘𝑦) = 1 → 𝑦 ≠ 0ℎ))
32	31	reximia 3244	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ)
33		neeq1 3080	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑦 ≠ 0ℎ ↔ 𝑧 ≠ 0ℎ))
34	33	cbvrexvw 3452	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 𝑦 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
35	32, 34	sylib 220	. . 3 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1 → ∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ)
36	22, 35	impbii 211	. 2 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐻 𝑧 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)
37	2, 36	bitri 277	1 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐻 𝑥 ≠ 0ℎ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐻 (normℎ‘𝑦) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   / cdiv 11299   ℋchba 28698   ·_ℎ csm 28700  norm_ℎcno 28702  0_ℎc0v 28703   S_ℋ csh 28707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-hilex 28778  ax-hfvadd 28779  ax-hv0cl 28782  ax-hfvmul 28784  ax-hvmul0 28789  ax-hfi 28858  ax-his1 28861  ax-his3 28863  ax-his4 28864

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-sup 8908  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-rp 12393  df-seq 13373  df-exp 13433  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-hnorm 28747  df-sh 28986

This theorem is referenced by:  norm1hex  29030  pjnmopi  29927