Theorem normcl 27822

Description: Real closure of the norm of a vector. (Contributed by NM, 29-May-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
normcl	⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Proof of Theorem normcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normf 27820	. 2 ⊢ normℎ: ℋ⟶ℝ
2	1	ffvelrni 6315	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (normℎ‘𝐴) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1992  ‘cfv 5850  ℝcr 9880   ℋchil 27616  norm_ℎcno 27620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958  ax-pre-sup 9959  ax-hv0cl 27700  ax-hvmul0 27707  ax-hfi 27776  ax-his1 27779  ax-his3 27781  ax-his4 27782

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-sup 8293  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-div 10630  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12739  df-exp 12798  df-cj 13768  df-re 13769  df-im 13770  df-sqrt 13904  df-hnorm 27665

This theorem is referenced by:  norm-i  27826  normcli  27828  normpyc  27843  hhph  27875  bcs2  27879  norm1  27946  norm1exi  27947  pjhthlem1  28090  chscllem2  28337  pjige0i  28389  pjnorm2  28426  nmopsetretALT  28562  nmopub2tALT  28608  nmopge0  28610  unopnorm  28616  nmfnleub2  28625  eigvalcl  28660  nmlnop0iALT  28694  nmbdoplbi  28723  nmcexi  28725  nmcopexi  28726  nmcoplbi  28727  nmophmi  28730  lnconi  28732  lnopconi  28733  nmbdfnlbi  28748  nmcfnlbi  28751  riesz4i  28762  riesz1  28764  cnlnadjlem2  28767  cnlnadjlem7  28772  nmopadjlem  28788  nmoptrii  28793  nmopcoi  28794  nmopcoadji  28800  branmfn  28804  brabn  28805  leopnmid  28837  pjnmopi  28847  pjnormssi  28867  pjssposi  28871  hstle1  28925  hst1h  28926  hstle  28929  hstles  28930  hstoh  28931  strlem1  28949  strlem3a  28951  strlem5  28954  hstrlem6  28963  jplem1  28967  cdj1i  29132  cdj3lem1  29133  cdj3lem2b  29136  cdj3lem3b  29139  cdj3i  29140