Theorem normgt0tOLD 8988

Description: The norm of non-zero vector is positive.

Assertion

Ref	Expression
normgt0tOLD	⊢ (A ∈ ℋ → (¬ A = 0h ↔ 0 < (normh ‘A)))

Proof of Theorem normgt0tOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrgt0t 6712	. . . . 5 ⊢ (((A ·ih A) ∈ ℝ ⋀ 0 < (A ·ih A)) → 0 < (√ ‘(A ·ih A)))
2		hiidrclt 8956	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℋ → (A ·ih A) ∈ ℝ)
3	2	adantr 391	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ ¬ A = 0h) → (A ·ih A) ∈ ℝ)
4		ax-his4 8947	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ A ≠ 0h) → 0 < (A ·ih A))
5		df-ne 1590	. . . . . 6 ⊢ (A ≠ 0h ↔ ¬ A = 0h)
6	4, 5	sylan2br 455	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ ¬ A = 0h) → 0 < (A ·ih A))
7	1, 3, 6	sylanc 473	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ ¬ A = 0h) → 0 < (√ ‘(A ·ih A)))
8	7	ex 373	. . 3 ⊢ (A ∈ ℋ → (¬ A = 0h → 0 < (√ ‘(A ·ih A))))
9		opreq1 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (A = 0h → (A ·ih A) = (0h ·ih A))
10		hi01t 8957	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℋ → (0h ·ih A) = 0)
11	9, 10	sylan9eqr 1532	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ A = 0h) → (A ·ih A) = 0)
12	11	fveq2d 3734	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ A = 0h) → (√ ‘(A ·ih A)) = (√ ‘0))
13		sqr0 6673	. . . . . . 7 ⊢ (√ ‘0) = 0
14	12, 13	syl6eq 1526	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ ℋ ⋀ A = 0h) → (√ ‘(A ·ih A)) = 0)
15	14	ex 373	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℋ → (A = 0h → (√ ‘(A ·ih A)) = 0))
16		sqrclt 6711	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ·ih A) ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ (A ·ih A)) → (√ ‘(A ·ih A)) ∈ ℝ)
17		hiidge0t 8959	. . . . . . . . 9 ⊢ (A ∈ ℋ → 0 ≤ (A ·ih A))
18	16, 2, 17	sylanc 473	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℋ → (√ ‘(A ·ih A)) ∈ ℝ)
19		0re 5452	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
20	18, 19	jctir 293	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ ℋ → ((√ ‘(A ·ih A)) ∈ ℝ ⋀ 0 ∈ ℝ))
21		lttri3t 5526	. . . . . . 7 ⊢ (((√ ‘(A ·ih A)) ∈ ℝ ⋀ 0 ∈ ℝ) → ((√ ‘(A ·ih A)) = 0 ↔ (¬ (√ ‘(A ·ih A)) < 0 ⋀ ¬ 0 < (√ ‘(A ·ih A)))))
22	20, 21	syl 10	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℋ → ((√ ‘(A ·ih A)) = 0 ↔ (¬ (√ ‘(A ·ih A)) < 0 ⋀ ¬ 0 < (√ ‘(A ·ih A)))))
23		pm3.27 323	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (√ ‘(A ·ih A)) < 0 ⋀ ¬ 0 < (√ ‘(A ·ih A))) → ¬ 0 < (√ ‘(A ·ih A)))
24	22, 23	syl6bi 214	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℋ → ((√ ‘(A ·ih A)) = 0 → ¬ 0 < (√ ‘(A ·ih A))))
25	15, 24	syld 27	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℋ → (A = 0h → ¬ 0 < (√ ‘(A ·ih A))))
26	25	con2d 91	. . 3 ⊢ (A ∈ ℋ → (0 < (√ ‘(A ·ih A)) → ¬ A = 0h))
27	8, 26	impbid 518	. 2 ⊢ (A ∈ ℋ → (¬ A = 0h ↔ 0 < (√ ‘(A ·ih A))))
28		normvalt 8985	. . 3 ⊢ (A ∈ ℋ → (normh ‘A) = (√ ‘(A ·ih A)))
29	28	breq2d 2635	. 2 ⊢ (A ∈ ℋ → (0 < (normh ‘A) ↔ 0 < (√ ‘(A ·ih A))))
30	27, 29	bitr4d 533	1 ⊢ (A ∈ ℋ → (¬ A = 0h ↔ 0 < (normh ‘A)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 958   ∈ wcel 960   ≠ wne 1588   class class class wbr 2624   ‘cfv 3188  (class class class)co 3969  ℝcr 5245  0cc0 5246   ≤ cle 5307   < clt 5498  √csqr 6670   ℋ chil 8783  0_hc0v 8786   ·_ih csp 8788  norm_hcno 8789

This theorem is referenced by:  nmcoplb 9953  lnopcon 9958  nmcfnlb 9982

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hv0cl 8868  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his3 8946  ax-his4 8947

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-hnorm 8832

Copyright terms: Public domain