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Theorem normlem0 28094
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem0 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ℋ
2 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
3 normlem1.3 . . . . . 6 𝐺 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 27999 . . . . 5 (𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
51, 4hvsubvali 28005 . . . 4 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
62mulm1i 10513 . . . . . . 7 (-1 · 𝑆) = -𝑆
76oveq1i 6700 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-𝑆 · 𝐺)
8 neg1cn 11162 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
98, 2, 3hvmulassi 28031 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
107, 9eqtr3i 2675 . . . . 5 (-𝑆 · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
1110oveq2i 6701 . . . 4 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
125, 11eqtr4i 2676 . . 3 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))
1312, 12oveq12i 6702 . 2 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))
142negcli 10387 . . . 4 -𝑆 ∈ ℂ
1514, 3hvmulcli 27999 . . 3 (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
161, 15hvaddcli 28003 . . 3 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ
17 ax-his2 28068 . . 3 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
181, 15, 16, 17mp3an 1464 . 2 ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
19 his7 28075 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
201, 1, 15, 19mp3an 1464 . . . 4 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
21 his5 28071 . . . . . . 7 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2214, 1, 3, 21mp3an 1464 . . . . . 6 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
232cjnegi 13966 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
2423oveq1i 6700 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2522, 24eqtri 2673 . . . . 5 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2625oveq2i 6701 . . . 4 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2720, 26eqtri 2673 . . 3 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28 ax-his3 28069 . . . . 5 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
2914, 3, 16, 28mp3an 1464 . . . 4 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
30 his7 28075 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
313, 1, 15, 30mp3an 1464 . . . . . 6 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
32 his5 28071 . . . . . . . 8 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3314, 3, 3, 32mp3an 1464 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
3433oveq2i 6701 . . . . . 6 ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3531, 34eqtri 2673 . . . . 5 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3635oveq2i 6701 . . . 4 (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
373, 1hicli 28066 . . . . . 6 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
3814cjcli 13953 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
393, 3hicli 28066 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
4038, 39mulcli 10083 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
4114, 37, 40adddii 10088 . . . . 5 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
4214, 38, 39mulassi 10087 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4323oveq2i 6701 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
442cjcli 13953 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
452, 44mul2negi 10516 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4643, 45eqtri 2673 . . . . . . . 8 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4746oveq1i 6700 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4842, 47eqtr3i 2675 . . . . . 6 (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4948oveq2i 6701 . . . . 5 ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5041, 49eqtri 2673 . . . 4 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5129, 36, 503eqtri 2677 . . 3 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5227, 51oveq12i 6702 . 2 ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
5313, 18, 523eqtri 2677 1 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1523  wcel 2030  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979  -cneg 10305  ccj 13880  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906   ·ih csp 27907   cmv 27910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-hfvadd 27985  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulass 27992  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-2 11117  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-hvsub 27956
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