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Theorem normlem0 28813
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem0 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ℋ
2 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
3 normlem1.3 . . . . . 6 𝐺 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 28718 . . . . 5 (𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
51, 4hvsubvali 28724 . . . 4 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
62mulm1i 11073 . . . . . . 7 (-1 · 𝑆) = -𝑆
76oveq1i 7155 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-𝑆 · 𝐺)
8 neg1cn 11739 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
98, 2, 3hvmulassi 28750 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
107, 9eqtr3i 2843 . . . . 5 (-𝑆 · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
1110oveq2i 7156 . . . 4 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
125, 11eqtr4i 2844 . . 3 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))
1312, 12oveq12i 7157 . 2 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))
142negcli 10942 . . . 4 -𝑆 ∈ ℂ
1514, 3hvmulcli 28718 . . 3 (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
161, 15hvaddcli 28722 . . 3 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ
17 ax-his2 28787 . . 3 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
181, 15, 16, 17mp3an 1452 . 2 ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
19 his7 28794 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
201, 1, 15, 19mp3an 1452 . . . 4 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
21 his5 28790 . . . . . . 7 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2214, 1, 3, 21mp3an 1452 . . . . . 6 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
232cjnegi 14529 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
2423oveq1i 7155 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2522, 24eqtri 2841 . . . . 5 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2625oveq2i 7156 . . . 4 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2720, 26eqtri 2841 . . 3 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28 ax-his3 28788 . . . . 5 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
2914, 3, 16, 28mp3an 1452 . . . 4 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
30 his7 28794 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
313, 1, 15, 30mp3an 1452 . . . . . 6 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
32 his5 28790 . . . . . . . 8 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3314, 3, 3, 32mp3an 1452 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
3433oveq2i 7156 . . . . . 6 ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3531, 34eqtri 2841 . . . . 5 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3635oveq2i 7156 . . . 4 (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
373, 1hicli 28785 . . . . . 6 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
3814cjcli 14516 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
393, 3hicli 28785 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
4038, 39mulcli 10636 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
4114, 37, 40adddii 10641 . . . . 5 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
4214, 38, 39mulassi 10640 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4323oveq2i 7156 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
442cjcli 14516 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
452, 44mul2negi 11076 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4643, 45eqtri 2841 . . . . . . . 8 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4746oveq1i 7155 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4842, 47eqtr3i 2843 . . . . . 6 (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4948oveq2i 7156 . . . . 5 ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5041, 49eqtri 2841 . . . 4 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5129, 36, 503eqtri 2845 . . 3 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5227, 51oveq12i 7157 . 2 ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
5313, 18, 523eqtri 2845 1 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  -cneg 10859  ccj 14443  chba 28623   + cva 28624   · csm 28625   ·ih csp 28626   cmv 28629
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-hfvadd 28704  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulass 28711  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-po 5467  df-so 5468  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-2 11688  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-hvsub 28675
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