HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem2 27829
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 27-Jul-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
Assertion
Ref Expression
normlem2 𝐵 ∈ ℝ

Proof of Theorem normlem2
StepHypRef Expression
1 normlem2.4 . 2 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2 normlem1.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ ℂ
32cjcli 13846 . . . . . . . 8 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
4 normlem1.2 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℋ
5 normlem1.3 . . . . . . . . 9 𝐺 ∈ ℋ
64, 5hicli 27799 . . . . . . . 8 (𝐹 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
73, 6mulcli 9992 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
85, 4hicli 27799 . . . . . . . 8 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
92, 8mulcli 9992 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) ∈ ℂ
107, 9cjaddi 13865 . . . . . 6 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
112cjcji 13848 . . . . . . . . . 10 (∗‘(∗‘𝑆)) = 𝑆
1211eqcomi 2630 . . . . . . . . 9 𝑆 = (∗‘(∗‘𝑆))
135, 4his1i 27818 . . . . . . . . 9 (𝐺 ·ih 𝐹) = (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺))
1412, 13oveq12i 6619 . . . . . . . 8 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
153, 6cjmuli 13866 . . . . . . . 8 (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘(∗‘𝑆)) · (∗‘(𝐹 ·ih 𝐺)))
1614, 15eqtr4i 2646 . . . . . . 7 (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) = (∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
174, 5his1i 27818 . . . . . . . . 9 (𝐹 ·ih 𝐺) = (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹))
1817oveq2i 6618 . . . . . . . 8 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
192, 8cjmuli 13866 . . . . . . . 8 (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((∗‘𝑆) · (∗‘(𝐺 ·ih 𝐹)))
2018, 19eqtr4i 2646 . . . . . . 7 ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
2116, 20oveq12i 6619 . . . . . 6 ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) = ((∗‘((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (∗‘(𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
2210, 21eqtr4i 2646 . . . . 5 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
237, 9addcomi 10174 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) = ((𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2422, 23eqtr4i 2646 . . . 4 (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
257, 9addcli 9991 . . . . 5 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℂ
2625cjrebi 13851 . . . 4 ((((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ ↔ (∗‘(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))) = (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))))
2724, 26mpbir 221 . . 3 (((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
2827renegcli 10289 . 2 -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹))) ∈ ℝ
291, 28eqeltri 2694 1 𝐵 ∈ ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5849  (class class class)co 6607  cc 9881  cr 9882   + caddc 9886   · cmul 9888  -cneg 10214  ccj 13773  chil 27637   ·ih csp 27640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960  ax-hfi 27797  ax-his1 27800
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-er 7690  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-div 10632  df-2 11026  df-cj 13776  df-re 13777  df-im 13778
This theorem is referenced by:  normlem3  27830  normlem6  27833  normlem7  27834  norm-ii-i  27855
  Copyright terms: Public domain W3C validator