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Theorem normlem6 27157
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem6 (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normlem3.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2 normlem1.3 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ ℋ
3 hiidrcl 27137 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
51, 4eqeltri 2678 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 normlem1.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ ℂ
8 normlem1.2 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℋ
9 normlem2.4 . . . . . . . . 9 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
107, 8, 2, 9normlem2 27153 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12 normlem3.6 . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13 hiidrcl 27137 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
148, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
1512, 14eqeltri 2678 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17 oveq1 6529 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
1817oveq2d 6538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19 oveq2 6530 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
2018, 19oveq12d 6540 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
2120oveq1d 6537 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
2221breq2d 4584 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23 0re 9891 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
2423elimel 4094 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25 normlem6.7 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝑆) = 1
267, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25normlem5 27156 . . . . . . . . 9 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
2722, 26dedth 4083 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
2827adantl 480 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
296, 11, 16, 28discr 12813 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
3029trud 1483 . . . . 5 ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
3110resqcli 12761 . . . . . 6 (𝐵↑2) ∈ ℝ
32 4re 10939 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
335, 15remulcli 9905 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
3432, 33remulcli 9905 . . . . . 6 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
3531, 34, 23lesubadd2i 10432 . . . . 5 (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
3630, 35mpbi 218 . . . 4 (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
3734recni 9903 . . . . 5 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
3837addid1i 10069 . . . 4 ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
3936, 38breqtri 4597 . . 3 (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
4010sqge0i 12763 . . . 4 0 ≤ (𝐵↑2)
41 4pos 10958 . . . . . 6 0 < 4
4223, 32, 41ltleii 10006 . . . . 5 0 ≤ 4
43 hiidge0 27140 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
442, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
4544, 1breqtrri 4599 . . . . . 6 0 ≤ 𝐴
46 hiidge0 27140 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
478, 46ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
4847, 12breqtrri 4599 . . . . . 6 0 ≤ 𝐶
495, 15mulge0i 10419 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
5045, 48, 49mp2an 703 . . . . 5 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
5132, 33mulge0i 10419 . . . . 5 ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
5242, 50, 51mp2an 703 . . . 4 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
5331, 34sqrtlei 13917 . . . 4 ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
5440, 52, 53mp2an 703 . . 3 ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
5539, 54mpbi 218 . 2 (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
5610absrei 13910 . 2 (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
5732, 33, 42, 50sqrtmulii 13915 . . 3 (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58 sqrt4 13802 . . . 4 (√‘4) = 2
595, 15, 45, 48sqrtmulii 13915 . . . 4 (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
6058, 59oveq12i 6534 . . 3 ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
6157, 60eqtr2i 2627 . 2 (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
6255, 56, 613brtr4i 4602 1 (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194   = wceq 1474  wtru 1475  wcel 1975  ifcif 4030   class class class wbr 4572  cfv 5785  (class class class)co 6522  cc 9785  cr 9786  0cc0 9787  1c1 9788   + caddc 9790   · cmul 9792  cle 9926  cmin 10112  -cneg 10113  2c2 10912  4c4 10914  cexp 12672  ccj 13625  csqrt 13762  abscabs 13763  chil 26961   ·ih csp 26964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2227  ax-ext 2584  ax-sep 4698  ax-nul 4707  ax-pow 4759  ax-pr 4823  ax-un 6819  ax-cnex 9843  ax-resscn 9844  ax-1cn 9845  ax-icn 9846  ax-addcl 9847  ax-addrcl 9848  ax-mulcl 9849  ax-mulrcl 9850  ax-mulcom 9851  ax-addass 9852  ax-mulass 9853  ax-distr 9854  ax-i2m1 9855  ax-1ne0 9856  ax-1rid 9857  ax-rnegex 9858  ax-rrecex 9859  ax-cnre 9860  ax-pre-lttri 9861  ax-pre-lttrn 9862  ax-pre-ltadd 9863  ax-pre-mulgt0 9864  ax-pre-sup 9865  ax-hfvadd 27042  ax-hv0cl 27045  ax-hfvmul 27047  ax-hvmulass 27049  ax-hvmul0 27052  ax-hfi 27121  ax-his1 27124  ax-his2 27125  ax-his3 27126  ax-his4 27127
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2456  df-mo 2457  df-clab 2591  df-cleq 2597  df-clel 2600  df-nfc 2734  df-ne 2776  df-nel 2777  df-ral 2895  df-rex 2896  df-reu 2897  df-rmo 2898  df-rab 2899  df-v 3169  df-sbc 3397  df-csb 3494  df-dif 3537  df-un 3539  df-in 3541  df-ss 3548  df-pss 3550  df-nul 3869  df-if 4031  df-pw 4104  df-sn 4120  df-pr 4122  df-tp 4124  df-op 4126  df-uni 4362  df-iun 4446  df-br 4573  df-opab 4633  df-mpt 4634  df-tr 4670  df-eprel 4934  df-id 4938  df-po 4944  df-so 4945  df-fr 4982  df-we 4984  df-xp 5029  df-rel 5030  df-cnv 5031  df-co 5032  df-dm 5033  df-rn 5034  df-res 5035  df-ima 5036  df-pred 5578  df-ord 5624  df-on 5625  df-lim 5626  df-suc 5627  df-iota 5749  df-fun 5787  df-fn 5788  df-f 5789  df-f1 5790  df-fo 5791  df-f1o 5792  df-fv 5793  df-riota 6484  df-ov 6525  df-oprab 6526  df-mpt2 6527  df-om 6930  df-2nd 7032  df-wrecs 7266  df-recs 7327  df-rdg 7365  df-er 7601  df-en 7814  df-dom 7815  df-sdom 7816  df-sup 8203  df-pnf 9927  df-mnf 9928  df-xr 9929  df-ltxr 9930  df-le 9931  df-sub 10114  df-neg 10115  df-div 10529  df-nn 10863  df-2 10921  df-3 10922  df-4 10923  df-n0 11135  df-z 11206  df-uz 11515  df-rp 11660  df-seq 12614  df-exp 12673  df-cj 13628  df-re 13629  df-im 13630  df-sqrt 13764  df-abs 13765  df-hvsub 27013
This theorem is referenced by:  normlem7  27158
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