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Theorem normlem6 27942
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 2-Aug-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
normlem2.4 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
normlem3.5 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
normlem3.6 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
normlem6.7 (abs‘𝑆) = 1
Assertion
Ref Expression
normlem6 (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))

Proof of Theorem normlem6
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 normlem3.5 . . . . . . . . 9 𝐴 = (𝐺 ·ih 𝐺)
2 normlem1.3 . . . . . . . . . 10 𝐺 ∈ ℋ
3 hiidrcl 27922 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ ℋ → (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ)
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℝ
51, 4eqeltri 2695 . . . . . . . 8 𝐴 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐴 ∈ ℝ)
7 normlem1.1 . . . . . . . . 9 𝑆 ∈ ℂ
8 normlem1.2 . . . . . . . . 9 𝐹 ∈ ℋ
9 normlem2.4 . . . . . . . . 9 𝐵 = -(((∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) + (𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)))
107, 8, 2, 9normlem2 27938 . . . . . . . 8 𝐵 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐵 ∈ ℝ)
12 normlem3.6 . . . . . . . . 9 𝐶 = (𝐹 ·ih 𝐹)
13 hiidrcl 27922 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ ℋ → (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ)
148, 13ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝐹 ·ih 𝐹) ∈ ℝ
1512, 14eqeltri 2695 . . . . . . . 8 𝐶 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐶 ∈ ℝ)
17 oveq1 6642 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝑥↑2) = (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2))
1817oveq2d 6651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐴 · (𝑥↑2)) = (𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)))
19 oveq2 6643 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (𝐵 · 𝑥) = (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)))
2018, 19oveq12d 6653 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → ((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) = ((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))))
2120oveq1d 6650 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) = (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶))
2221breq2d 4656 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) → (0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶) ↔ 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)))
23 0re 10025 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
2423elimel 4141 . . . . . . . . . 10 if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0) ∈ ℝ
25 normlem6.7 . . . . . . . . . 10 (abs‘𝑆) = 1
267, 8, 2, 9, 1, 12, 24, 25normlem5 27941 . . . . . . . . 9 0 ≤ (((𝐴 · (if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0)↑2)) + (𝐵 · if(𝑥 ∈ ℝ, 𝑥, 0))) + 𝐶)
2722, 26dedth 4130 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
2827adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (((𝐴 · (𝑥↑2)) + (𝐵 · 𝑥)) + 𝐶))
296, 11, 16, 28discr 12984 . . . . . 6 (⊤ → ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0)
3029trud 1491 . . . . 5 ((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0
3110resqcli 12932 . . . . . 6 (𝐵↑2) ∈ ℝ
32 4re 11082 . . . . . . 7 4 ∈ ℝ
335, 15remulcli 10039 . . . . . . 7 (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ
3432, 33remulcli 10039 . . . . . 6 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℝ
3531, 34, 23lesubadd2i 10573 . . . . 5 (((𝐵↑2) − (4 · (𝐴 · 𝐶))) ≤ 0 ↔ (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0))
3630, 35mpbi 220 . . . 4 (𝐵↑2) ≤ ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0)
3734recni 10037 . . . . 5 (4 · (𝐴 · 𝐶)) ∈ ℂ
3837addid1i 10208 . . . 4 ((4 · (𝐴 · 𝐶)) + 0) = (4 · (𝐴 · 𝐶))
3936, 38breqtri 4669 . . 3 (𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
4010sqge0i 12934 . . . 4 0 ≤ (𝐵↑2)
41 4pos 11101 . . . . . 6 0 < 4
4223, 32, 41ltleii 10145 . . . . 5 0 ≤ 4
43 hiidge0 27925 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺))
442, 43ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (𝐺 ·ih 𝐺)
4544, 1breqtrri 4671 . . . . . 6 0 ≤ 𝐴
46 hiidge0 27925 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ ℋ → 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹))
478, 46ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≤ (𝐹 ·ih 𝐹)
4847, 12breqtrri 4671 . . . . . 6 0 ≤ 𝐶
495, 15mulge0i 10560 . . . . . 6 ((0 ≤ 𝐴 ∧ 0 ≤ 𝐶) → 0 ≤ (𝐴 · 𝐶))
5045, 48, 49mp2an 707 . . . . 5 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)
5132, 33mulge0i 10560 . . . . 5 ((0 ≤ 4 ∧ 0 ≤ (𝐴 · 𝐶)) → 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)))
5242, 50, 51mp2an 707 . . . 4 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))
5331, 34sqrtlei 14109 . . . 4 ((0 ≤ (𝐵↑2) ∧ 0 ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶))) → ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))))
5440, 52, 53mp2an 707 . . 3 ((𝐵↑2) ≤ (4 · (𝐴 · 𝐶)) ↔ (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))))
5539, 54mpbi 220 . 2 (√‘(𝐵↑2)) ≤ (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
5610absrei 14102 . 2 (abs‘𝐵) = (√‘(𝐵↑2))
5732, 33, 42, 50sqrtmulii 14107 . . 3 (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶))) = ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶)))
58 sqrt4 13994 . . . 4 (√‘4) = 2
595, 15, 45, 48sqrtmulii 14107 . . . 4 (√‘(𝐴 · 𝐶)) = ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))
6058, 59oveq12i 6647 . . 3 ((√‘4) · (√‘(𝐴 · 𝐶))) = (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
6157, 60eqtr2i 2643 . 2 (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶))) = (√‘(4 · (𝐴 · 𝐶)))
6255, 56, 613brtr4i 4674 1 (abs‘𝐵) ≤ (2 · ((√‘𝐴) · (√‘𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196   = wceq 1481  wtru 1482  wcel 1988  ifcif 4077   class class class wbr 4644  cfv 5876  (class class class)co 6635  cc 9919  cr 9920  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924   · cmul 9926  cle 10060  cmin 10251  -cneg 10252  2c2 11055  4c4 11057  cexp 12843  ccj 13817  csqrt 13954  abscabs 13955  chil 27746   ·ih csp 27749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999  ax-hfvadd 27827  ax-hv0cl 27830  ax-hfvmul 27832  ax-hvmulass 27834  ax-hvmul0 27837  ax-hfi 27906  ax-his1 27909  ax-his2 27910  ax-his3 27911  ax-his4 27912
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-sup 8333  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-4 11066  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-seq 12785  df-exp 12844  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-hvsub 27798
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