HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normlem8 27161
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem8 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem8
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
3 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
4 his7 27134 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)))
51, 2, 3, 4mp3an 1415 . . 3 (𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷))
6 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
7 his7 27134 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
86, 2, 3, 7mp3an 1415 . . 3 (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
95, 8oveq12i 6536 . 2 ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
102, 3hvaddcli 27062 . . 3 (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ
11 ax-his2 27127 . . 3 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℋ) → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷))))
121, 6, 10, 11mp3an 1415 . 2 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = ((𝐴 ·ih (𝐶 + 𝐷)) + (𝐵 ·ih (𝐶 + 𝐷)))
131, 2hicli 27125 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
146, 3hicli 27125 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
151, 3hicli 27125 . . 3 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
166, 2hicli 27125 . . 3 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
1713, 14, 15, 16add42i 10109 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐴 ·ih 𝐷)) + ((𝐵 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)))
189, 12, 173eqtr4i 2638 1 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐶 + 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6524   + caddc 9792  chil 26963   + cva 26964   ·ih csp 26966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866  ax-hfvadd 27044  ax-hfi 27123  ax-his1 27126  ax-his2 27127
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-div 10531  df-2 10923  df-cj 13630  df-re 13631  df-im 13632
This theorem is referenced by:  normlem9  27162  norm-ii-i  27181  normpythi  27186  normpari  27198  polid2i  27201
  Copyright terms: Public domain W3C validator