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Theorem normlem9at 27866
 Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 10-May-2005.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normlem9at ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))))

Proof of Theorem normlem9at
StepHypRef Expression
1 oveq1 6622 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21, 1oveq12d 6633 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
3 id 22 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → 𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))
43, 3oveq12d 6633 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐴) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
54oveq1d 6630 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
6 oveq1 6622 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵))
7 oveq2 6623 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐵 ·ih 𝐴) = (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
86, 7oveq12d 6633 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
95, 8oveq12d 6633 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
102, 9eqeq12d 2636 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
11 oveq2 6623 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1211, 11oveq12d 6633 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
13 id 22 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → 𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))
1413, 13oveq12d 6633 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih 𝐵) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1514oveq2d 6631 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
16 oveq2 6623 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
17 oveq1 6622 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) = (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
1816, 17oveq12d 6633 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))) = ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
1915, 18oveq12d 6633 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))))
2012, 19eqeq12d 2636 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))) ↔ ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))))
21 ifhvhv0 27767 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
22 ifhvhv0 27767 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
2321, 22, 21, 22normlem9 27863 . 2 ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) ·ih (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) = (((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))) − ((if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ·ih if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)) + (if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ·ih if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))))
2410, 20, 23dedth2h 4118 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) − ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ifcif 4064  (class class class)co 6615   + caddc 9899   − cmin 10226   ℋchil 27664   ·ih csp 27667  0ℎc0v 27669   −ℎ cmv 27670 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973  ax-hfvadd 27745  ax-hv0cl 27748  ax-hfvmul 27750  ax-hfi 27824  ax-his1 27827  ax-his2 27828  ax-his3 27829 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-div 10645  df-2 11039  df-cj 13789  df-re 13790  df-im 13791  df-hvsub 27716 This theorem is referenced by:  unopf1o  28663
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