HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpar Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpar 27185
Description: Parallelogram law for norms. Remark 3.4(B) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 15-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
normpar ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))))

Proof of Theorem normpar
StepHypRef Expression
1 oveq1 6432 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))
21fveq2d 5990 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)))
32oveq1d 6440 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2))
4 oveq1 6432 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (𝐴 + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))
54fveq2d 5990 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm‘(𝐴 + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)))
65oveq1d 6440 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2))
73, 6oveq12d 6443 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)))
8 fveq2 5986 . . . . . 6 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (norm𝐴) = (norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0)))
98oveq1d 6440 . . . . 5 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((norm𝐴)↑2) = ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2))
109oveq2d 6441 . . . 4 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → (2 · ((norm𝐴)↑2)) = (2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)))
1110oveq1d 6440 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))))
127, 11eqeq12d 2529 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) → ((((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2)))))
13 oveq2 6433 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1413fveq2d 5990 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1514oveq1d 6440 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
16 oveq2 6433 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵) = (if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
1716fveq2d 5990 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵)) = (norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))))
1817oveq1d 6440 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2) = ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2))
1915, 18oveq12d 6443 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)) = (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)))
20 fveq2 5986 . . . . . 6 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (norm𝐵) = (norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))
2120oveq1d 6440 . . . . 5 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((norm𝐵)↑2) = ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2))
2221oveq2d 6441 . . . 4 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → (2 · ((norm𝐵)↑2)) = (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))
2322oveq2d 6441 . . 3 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2))))
2419, 23eqeq12d 2529 . 2 (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) → ((((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − 𝐵))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))) ↔ (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))))
25 ifhvhv0 27052 . . 3 if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) ∈ ℋ
26 ifhvhv0 27052 . . 3 if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0) ∈ ℋ
2725, 26normpari 27184 . 2 (((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) − if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2) + ((norm‘(if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0) + if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0)))↑2)) = ((2 · ((norm‘if(𝐴 ∈ ℋ, 𝐴, 0))↑2)) + (2 · ((norm‘if(𝐵 ∈ ℋ, 𝐵, 0))↑2)))
2812, 24, 27dedth2h 3993 1 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) + ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm𝐴)↑2)) + (2 · ((norm𝐵)↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1938  ifcif 3939  cfv 5689  (class class class)co 6425   + caddc 9693   · cmul 9695  2c2 10824  cexp 12589  chil 26949   + cva 26950  normcno 26953  0c0v 26954   cmv 26955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768  ax-hfvadd 27030  ax-hv0cl 27033  ax-hfvmul 27035  ax-hvmul0 27040  ax-hfi 27109  ax-his1 27112  ax-his2 27113  ax-his3 27114  ax-his4 27115
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-sup 8106  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-rp 11574  df-seq 12531  df-exp 12590  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-hnorm 26998  df-hvsub 27001
This theorem is referenced by:  hhph  27208
  Copyright terms: Public domain W3C validator