Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpythi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpythi 27845
 Description: Analogy to Pythagorean theorem for orthogonal vectors. Remark 3.4(C) of [Beran] p. 98. (Contributed by NM, 17-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normsub.1 𝐴 ∈ ℋ
normsub.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normpythi ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))

Proof of Theorem normpythi
StepHypRef Expression
1 normsub.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normsub.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2, 1, 2normlem8 27820 . . 3 ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)))
4 id 22 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐴 ·ih 𝐵) = 0)
5 orthcom 27811 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0))
61, 2, 5mp2an 707 . . . . . . . 8 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 ↔ (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
76biimpi 206 . . . . . . 7 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (𝐵 ·ih 𝐴) = 0)
84, 7oveq12d 6622 . . . . . 6 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = (0 + 0))
9 00id 10155 . . . . . 6 (0 + 0) = 0
108, 9syl6eq 2671 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴)) = 0)
1110oveq2d 6620 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + 0))
121, 1hicli 27784 . . . . . 6 (𝐴 ·ih 𝐴) ∈ ℂ
132, 2hicli 27784 . . . . . 6 (𝐵 ·ih 𝐵) ∈ ℂ
1412, 13addcli 9988 . . . . 5 ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) ∈ ℂ
1514addid1i 10167 . . . 4 (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + 0) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
1611, 15syl6eq 2671 . . 3 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → (((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)) + ((𝐴 ·ih 𝐵) + (𝐵 ·ih 𝐴))) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
173, 16syl5eq 2667 . 2 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵)))
181, 2hvaddcli 27721 . . 3 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
1918normsqi 27835 . 2 ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = ((𝐴 + 𝐵) ·ih (𝐴 + 𝐵))
201normsqi 27835 . . 3 ((norm𝐴)↑2) = (𝐴 ·ih 𝐴)
212normsqi 27835 . . 3 ((norm𝐵)↑2) = (𝐵 ·ih 𝐵)
2220, 21oveq12i 6616 . 2 (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)) = ((𝐴 ·ih 𝐴) + (𝐵 ·ih 𝐵))
2317, 19, 223eqtr4g 2680 1 ((𝐴 ·ih 𝐵) = 0 → ((norm‘(𝐴 + 𝐵))↑2) = (((norm𝐴)↑2) + ((norm𝐵)↑2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880   + caddc 9883  2c2 11014  ↑cexp 12800   ℋchil 27622   +ℎ cva 27623   ·ih csp 27625  normℎcno 27626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958  ax-hfvadd 27703  ax-hv0cl 27706  ax-hvmul0 27713  ax-hfi 27782  ax-his1 27785  ax-his2 27786  ax-his3 27787  ax-his4 27788 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-hnorm 27671 This theorem is referenced by:  normpyth  27848  pjopythi  28424
 Copyright terms: Public domain W3C validator