Theorem norn 32106

Description: The range of a surreal is a subset of the surreal signs. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
norn	⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})

Proof of Theorem norn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 32101	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
2		frn 6210	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})
3	2	rexlimivw 3163	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})
4	1, 3	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2135  ∃wrex 3047   ⊆ wss 3711  {cpr 4319  ran crn 5263  Oncon0 5880  ⟶wf 6041  1_𝑜c1o 7718  2_𝑜c2o 7719   No csur 32095

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1867  ax-4 1882  ax-5 1984  ax-6 2050  ax-7 2086  ax-9 2144  ax-10 2164  ax-11 2179  ax-12 2192  ax-13 2387  ax-ext 2736  ax-rep 4919  ax-sep 4929  ax-nul 4937  ax-pr 5051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1631  df-ex 1850  df-nf 1855  df-sb 2043  df-eu 2607  df-mo 2608  df-clab 2743  df-cleq 2749  df-clel 2752  df-nfc 2887  df-ne 2929  df-ral 3051  df-rex 3052  df-reu 3053  df-rab 3055  df-v 3338  df-sbc 3573  df-csb 3671  df-dif 3714  df-un 3716  df-in 3718  df-ss 3725  df-nul 4055  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4585  df-iun 4670  df-br 4801  df-opab 4861  df-mpt 4878  df-id 5170  df-xp 5268  df-rel 5269  df-cnv 5270  df-co 5271  df-dm 5272  df-rn 5273  df-res 5274  df-ima 5275  df-iota 6008  df-fun 6047  df-fn 6048  df-f 6049  df-f1 6050  df-fo 6051  df-f1o 6052  df-fv 6053  df-no 32098

This theorem is referenced by:  elno2  32109  nofv  32112  sltres  32117  noextend  32121  noextendseq  32122  nosepssdm  32138  nodenselem8  32143  nolt02olem  32146  nosupno  32151