Theorem norn 31497

Description: The range of a surreal is a subset of the surreal signs. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
norn	⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})

Proof of Theorem norn

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 31492	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
2		frn 6012	. . 3 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})
3	2	rexlimivw 3027	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})
4	1, 3	sylbi 207	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → ran 𝐴 ⊆ {1𝑜, 2𝑜})

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1992  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3560  {cpr 4155  ran crn 5080  Oncon0 5685  ⟶wf 5846  1_𝑜c1o 7499  2_𝑜c2o 7500   No csur 31486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pr 4872

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3897  df-if 4064  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-no 31489

This theorem is referenced by:  elno2  31500  nofv  31503  sltres  31510  noextend  31516  nodenselem3  31538  nodenselem6  31541  nodenselem8  31543  nosino  31567