Theorem nosepeq 32141

Description: The values of two surreals at a point less than their separators are equal. (Contributed by Scott Fenton, 6-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nosepeq	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑋

Proof of Theorem nosepeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nosepon 32124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On)
2		onelon 5909	. . . 4 ⊢ ((∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} ∈ On ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
3	1, 2	sylan 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ On)
4		simpr 479	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)})
5		fveq2 6352	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐴‘𝑥) = (𝐴‘𝑋))
6		fveq2 6352	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐵‘𝑥) = (𝐵‘𝑋))
7	5, 6	neeq12d 2993	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥) ↔ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
8	7	onnminsb 7169	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ On → (𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)} → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋)))
9	3, 4, 8	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
10		df-ne 2933	. . 3 ⊢ ((𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))
11	10	con2bii 346	. 2 ⊢ ((𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋) ↔ ¬ (𝐴‘𝑋) ≠ (𝐵‘𝑋))
12	9, 11	sylibr 224	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ 𝑋 ∈ ∩ {𝑥 ∈ On ∣ (𝐴‘𝑥) ≠ (𝐵‘𝑥)}) → (𝐴‘𝑋) = (𝐵‘𝑋))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ≠ wne 2932  {crab 3054  ∩ cint 4627  Oncon0 5884  ‘cfv 6049   No csur 32099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-ord 5887  df-on 5888  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-1o 7729  df-2o 7730  df-no 32102

This theorem is referenced by:  nosepssdm  32142  nodenselem7  32146