Theorem noxp1o 31941

Description: The Cartesian product of an ordinal and {1_𝑜} is a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
noxp1o	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}) ∈ No )

Proof of Theorem noxp1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7612	. . . . . . 7 ⊢ 1𝑜 ∈ On
2	1	elexi 3244	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ V
3	2	prid1 4329	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ {1𝑜, 2𝑜}
4	3	fconst6 6133	. . . 4 ⊢ (𝐴 × {1𝑜}):𝐴⟶{1𝑜, 2𝑜}
5	2	snnz 4340	. . . . . 6 ⊢ {1𝑜} ≠ ∅
6		dmxp 5376	. . . . . 6 ⊢ ({1𝑜} ≠ ∅ → dom (𝐴 × {1𝑜}) = 𝐴)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ dom (𝐴 × {1𝑜}) = 𝐴
8	7	feq2i 6075	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ (𝐴 × {1𝑜}):𝐴⟶{1𝑜, 2𝑜})
9	4, 8	mpbir 221	. . 3 ⊢ (𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜}
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜})
11	7	eleq1i 2721	. . 3 ⊢ (dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On ↔ 𝐴 ∈ On)
12	11	biimpri 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On)
13		elno3 31933	. 2 ⊢ ((𝐴 × {1𝑜}) ∈ No ↔ ((𝐴 × {1𝑜}):dom (𝐴 × {1𝑜})⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ dom (𝐴 × {1𝑜}) ∈ On))
14	10, 12, 13	sylanbrc 699	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 × {1𝑜}) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212   × cxp 5141  dom cdm 5143  Oncon0 5761  ⟶wf 5922  1_𝑜c1o 7598  2_𝑜c2o 7599   No csur 31918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pr 4936  ax-un 6991

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-ord 5764  df-on 5765  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-1o 7605  df-no 31921

This theorem is referenced by:  bdayfo  31953