Theorem npcan 10142

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 10132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10090	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 10141	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 467	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2643	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  (class class class)co 6527  ℂcc 9791   + caddc 9796   − cmin 10118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-ltxr 9936  df-sub 10120

This theorem is referenced by:  addsubass  10143  npncan  10154  nppcan  10155  nnpcan  10156  subcan2  10158  nnncan  10168  npcand  10248  nn1suc  10891  zlem1lt  11265  zltlem1  11266  peano5uzi  11301  nummac  11393  uzp1  11556  peano2uzr  11578  qbtwnre  11866  fz01en  12198  fzsuc2  12226  fseq1m1p1  12242  predfz  12291  fzoss2  12323  fzoaddel2  12349  fzosplitsnm1  12367  fzosplitprm1  12401  fldiv  12479  modfzo0difsn  12562  seqm1  12638  monoord2  12652  sermono  12653  seqf1olem1  12660  seqf1olem2  12661  seqz  12669  expm1t  12708  expubnd  12741  bcm1k  12922  bcn2  12926  hashfzo  13031  hashbclem  13048  hashf1  13053  seqcoll  13060  addlenrevswrd  13238  swrdfv2  13247  swrdspsleq  13250  swrdlsw  13253  cshwlen  13345  cshwidxmod  13349  cshwidxmodr  13350  cshwidxm  13354  swrd2lsw  13492  shftlem  13605  shftfval  13607  seqshft  13622  iserex  14184  serf0  14208  iseralt  14212  sumrblem  14238  fsumm1  14273  mptfzshft  14301  binomlem  14349  binom1dif  14353  isumsplit  14360  climcndslem1  14369  binomrisefac  14561  bpolycl  14571  bpolysum  14572  bpolydiflem  14573  bpoly2  14576  bpoly3  14577  fsumcube  14579  ruclem12  14758  dvdssub2  14810  4sqlem19  15454  vdwapun  15465  vdwapid1  15466  vdwlem5  15476  vdwlem8  15479  vdwnnlem2  15487  ramub1lem2  15518  1259lem4  15628  1259prm  15630  2503prm  15634  4001prm  15639  gsumccat  17150  sylow1lem1  17785  efgsres  17923  efgredleme  17928  gsummptshft  18108  icccvx  22505  reparphti  22553  ovolunlem1  23017  advlog  24145  cxpaddlelem  24237  ang180lem1  24284  ang180lem3  24286  asinlem2  24341  tanatan  24391  ppiub  24674  perfect1  24698  lgsquad2lem1  24854  rplogsumlem1  24918  selberg2lem  24984  logdivbnd  24990  pntrsumo1  24999  pntrsumbnd2  25001  ax5seglem3  25557  ax5seglem5  25559  axbtwnid  25565  axlowdimlem16  25583  axeuclidlem  25588  axcontlem2  25591  eupares  26296  numclwwlkovf2ex  26407  cvmliftlem7  30361  nndivsub  31460  ltflcei  32391  itg2addnclem3  32457  mettrifi  32547  irrapxlem1  36228  rmspecsqrtnq  36312  rmspecsqrtnqOLD  36313  jm2.24nn  36368  jm2.18  36397  jm2.23  36405  jm2.27c  36416  itgsinexp  38670  bgoldbwt  40024  evengpop3  40039  evengpoap3  40040  addlenrevpfx  40085  2elfz2melfz  40202  crctcsh1wlkn0lem6  41040  eucrctshift  41433  av-numclwwlkovf2ex  41539  zlmodzxzsub  41953