Theorem npcan 10328

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 10318	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 476	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 10327	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 468	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2685	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  (class class class)co 6690  ℂcc 9972   + caddc 9977   − cmin 10304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-ltxr 10117  df-sub 10306

This theorem is referenced by:  addsubass  10329  npncan  10340  nppcan  10341  nnpcan  10342  subcan2  10344  nnncan  10354  npcand  10434  nn1suc  11079  zlem1lt  11467  zltlem1  11468  peano5uzi  11504  nummac  11596  uzp1  11759  peano2uzr  11781  qbtwnre  12068  fz01en  12407  fzsuc2  12436  fseq1m1p1  12453  predfz  12503  fzoss2  12535  fzoaddel2  12563  fzosplitsnm1  12582  fldiv  12699  modfzo0difsn  12782  seqm1  12858  monoord2  12872  sermono  12873  seqf1olem1  12880  seqf1olem2  12881  seqz  12889  expm1t  12928  expubnd  12961  bcm1k  13142  bcn2  13146  hashfzo  13254  hashbclem  13274  hashf1  13279  seqcoll  13286  addlenrevswrd  13483  swrdfv2  13492  swrdspsleq  13495  swrdlsw  13498  cshwlen  13591  cshwidxmod  13595  cshwidxmodr  13596  cshwidxm  13600  swrd2lsw  13741  shftlem  13852  shftfval  13854  seqshft  13869  iserex  14431  serf0  14455  iseralt  14459  sumrblem  14486  fsumm1  14524  mptfzshft  14554  binomlem  14605  binom1dif  14609  isumsplit  14616  climcndslem1  14625  binomrisefac  14817  bpolycl  14827  bpolysum  14828  bpolydiflem  14829  bpoly2  14832  bpoly3  14833  fsumcube  14835  ruclem12  15014  dvdssub2  15070  4sqlem19  15714  vdwapun  15725  vdwapid1  15726  vdwlem5  15736  vdwlem8  15739  vdwnnlem2  15747  ramub1lem2  15778  1259lem4  15888  1259prm  15890  2503prm  15894  4001prm  15899  gsumccat  17425  sylow1lem1  18059  efgsres  18197  efgredleme  18202  gsummptshft  18382  icccvx  22796  reparphti  22843  ovolunlem1  23311  advlog  24445  cxpaddlelem  24537  ang180lem1  24584  ang180lem3  24586  asinlem2  24641  tanatan  24691  ppiub  24974  perfect1  24998  lgsquad2lem1  25154  rplogsumlem1  25218  selberg2lem  25284  logdivbnd  25290  pntrsumo1  25299  pntrsumbnd2  25301  ax5seglem3  25856  ax5seglem5  25858  axbtwnid  25864  axlowdimlem16  25882  axeuclidlem  25887  axcontlem2  25890  crctcshwlkn0lem6  26763  clwwlknonex2lem2  27083  clwwlknonex2  27084  eucrctshift  27221  cvmliftlem7  31399  nndivsub  32581  ltflcei  33527  itg2addnclem3  33593  mettrifi  33683  irrapxlem1  37703  rmspecsqrtnq  37787  rmspecsqrtnqOLD  37788  jm2.24nn  37843  jm2.18  37872  jm2.23  37880  jm2.27c  37891  monoord2xrv  40027  itgsinexp  40488  2elfz2melfz  41653  addlenrevpfx  41722  sbgoldbwt  41990  sgoldbeven3prm  41996  evengpop3  42011  evengpoap3  42012  zlmodzxzsub  42463