Theorem npcan 10898

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 10888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 10845	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 10897	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 461	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2859	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7159  ℂcc 10538   + caddc 10543   − cmin 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-po 5477  df-so 5478  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-ltxr 10683  df-sub 10875

This theorem is referenced by:  addsubass  10899  npncan  10910  nppcan  10911  nnpcan  10912  subcan2  10914  nnncan  10924  npcand  11004  nn1suc  11662  zlem1lt  12037  zltlem1  12038  peano5uzi  12074  nummac  12146  uzp1  12282  peano2uzr  12306  qbtwnre  12595  fz01en  12938  fzsuc2  12968  fseq1m1p1  12985  predfz  13035  fzoss2  13068  fzoaddel2  13096  fzosplitsnm1  13115  fldiv  13231  modfzo0difsn  13314  seqm1  13390  monoord2  13404  sermono  13405  seqf1olem1  13412  seqf1olem2  13413  seqz  13421  expm1t  13460  expubnd  13544  bcm1k  13678  bcn2  13682  hashfzo  13793  hashbclem  13813  hashf1  13818  seqcoll  13825  swrdfv2  14026  swrdspsleq  14030  swrdlsw  14032  addlenrevpfx  14055  ccatpfx  14066  cshwlen  14164  cshwidxmodr  14169  cshwidxm  14173  swrd2lsw  14317  shftlem  14430  shftfval  14432  seqshft  14447  iserex  15016  serf0  15040  iseralt  15044  sumrblem  15071  fsumm1  15109  mptfzshft  15136  binomlem  15187  binom1dif  15191  isumsplit  15198  climcndslem1  15207  binomrisefac  15399  bpolycl  15409  bpolysum  15410  bpolydiflem  15411  bpoly2  15414  bpoly3  15415  fsumcube  15417  ruclem12  15597  dvdssub2  15654  4sqlem19  16302  vdwapun  16313  vdwapid1  16314  vdwlem5  16324  vdwlem8  16327  vdwnnlem2  16335  ramub1lem2  16366  1259lem4  16470  1259prm  16472  2503prm  16476  4001prm  16481  gsumsgrpccat  18007  gsumccatOLD  18008  sylow1lem1  18726  efgsres  18867  efgredleme  18872  gsummptshft  19059  ablsimpgfindlem1  19232  icccvx  23557  reparphti  23604  ovolunlem1  24101  advlog  25240  cxpaddlelem  25335  ang180lem1  25390  ang180lem3  25392  asinlem2  25450  tanatan  25500  ppiub  25783  perfect1  25807  lgsquad2lem1  25963  rplogsumlem1  26063  selberg2lem  26129  logdivbnd  26135  pntrsumo1  26144  pntrsumbnd2  26146  ax5seglem3  26720  ax5seglem5  26722  axbtwnid  26728  axlowdimlem16  26746  axeuclidlem  26751  axcontlem2  26754  crctcshwlkn0lem6  27596  clwwlknonex2lem2  27890  clwwlknonex2  27891  eucrctshift  28025  cvmliftlem7  32542  nndivsub  33809  ltflcei  34884  itg2addnclem3  34949  mettrifi  35036  irrapxlem1  39425  rmspecsqrtnq  39509  jm2.24nn  39562  jm2.18  39591  jm2.23  39599  jm2.27c  39610  monoord2xrv  41766  itgsinexp  42246  2elfz2melfz  43525  sbgoldbwt  43949  sgoldbeven3prm  43955  evengpop3  43970  evengpoap3  43971  zlmodzxzsub  44415