Theorem nqerrel 10356

Description: Any member of (N × N) relates to the representative of its equivalence class. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerrel	⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Proof of Theorem nqerrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . 3 ⊢ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴)
2		nqerf 10354	. . . . 5 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
3		ffn 6516	. . . . 5 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → [Q] Fn (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ [Q] Fn (N × N)
5		fnbrfvb 6720	. . . 4 ⊢ (([Q] Fn (N × N) ∧ 𝐴 ∈ (N × N)) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
6	4, 5	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
7	1, 6	mpbii 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴[Q]([Q]‘𝐴))
8		df-erq 10337	. . . 4 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
9		inss1 4207	. . . 4 ⊢ ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
10	8, 9	eqsstri 4003	. . 3 ⊢ [Q] ⊆ ~Q
11	10	ssbri 5113	. 2 ⊢ (𝐴[Q]([Q]‘𝐴) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
12	7, 11	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3937   class class class wbr 5068   × cxp 5555   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  ‘cfv 6357  Ncnpi 10268   ~_Q ceq 10275  Qcnq 10276  [Q]cerq 10278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-omul 8109  df-er 8291  df-ni 10296  df-mi 10298  df-lti 10299  df-enq 10335  df-nq 10336  df-erq 10337  df-1nq 10340

This theorem is referenced by:  nqereq  10359  adderpq  10380  mulerpq  10381  lterpq  10394