Theorem nqpr 10430

Description: The canonical embedding of the rationals into the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqpr	⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem nqpr

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsmallnq 10393	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
2		abn0 4336	. . . 4 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 <Q 𝐴)
3	1, 2	sylibr 236	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
4		0pss 4396	. . 3 ⊢ (∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ≠ ∅)
5	3, 4	sylibr 236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
6		ltrelnq 10342	. . . . . 6 ⊢ <Q ⊆ (Q × Q)
7	6	brel 5612	. . . . 5 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → (𝑥 ∈ Q ∧ 𝐴 ∈ Q))
8	7	simpld 497	. . . 4 ⊢ (𝑥 <Q 𝐴 → 𝑥 ∈ Q)
9	8	abssi 4046	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q
10		ltsonq 10385	. . . . . 6 ⊢ <Q Or Q
11	10, 6	soirri 5981	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝐴 <Q 𝐴
12		breq1 5062	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
13	12	elabg 3666	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝐴 <Q 𝐴))
14	11, 13	mtbiri 329	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴})
15	14	ancli 551	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Q → (𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
16		ssnelpss 4088	. . 3 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊆ Q → ((𝐴 ∈ Q ∧ ¬ 𝐴 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q))
17	9, 15, 16	mpsyl 68	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q)
18		vex 3498	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
19		breq1 5062	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑦 <Q 𝐴))
20	18, 19	elab 3667	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑦 <Q 𝐴)
21	10, 6	sotri 5982	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 <Q 𝑦 ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → 𝑧 <Q 𝐴)
22	21	expcom 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
23	22	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 <Q 𝐴))
24		vex 3498	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑧 ∈ V
25		breq1 5062	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 <Q 𝐴 ↔ 𝑧 <Q 𝐴))
26	24, 25	elab 3667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ↔ 𝑧 <Q 𝐴)
27	23, 26	syl6ibr 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
28	27	alrimiv 1924	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
29		ltbtwnnq 10394	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 ↔ ∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
30	26	anbi2i 624	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ↔ (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴))
31	30	biimpri 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}))
32	31	ancomd 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → (𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
33	32	eximi 1831	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑦 <Q 𝑧 ∧ 𝑧 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
34	29, 33	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 <Q 𝐴 → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
35	34	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
36		df-rex 3144	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ 𝑦 <Q 𝑧))
37	35, 36	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)
38	28, 37	jca 514	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 <Q 𝐴) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
39	20, 38	sylan2b 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) → (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
40	39	ralrimiva 3182	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q → ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧))
41		elnp 10403	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P ↔ ((∅ ⊊ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∧ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ⊊ Q) ∧ ∀𝑦 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} (∀𝑧(𝑧 <Q 𝑦 → 𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}) ∧ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴}𝑦 <Q 𝑧)))
42	5, 17, 40, 41	syl21anbrc 1340	1 ⊢ (𝐴 ∈ Q → {𝑥 ∣ 𝑥 <Q 𝐴} ∈ P)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1531  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110  {cab 2799   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936   ⊊ wpss 3937  ∅c0 4291   class class class wbr 5059  Qcnq 10268   <_Q cltq 10274  Pcnp 10275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-omul 8101  df-er 8283  df-ni 10288  df-pli 10289  df-mi 10290  df-lti 10291  df-plpq 10324  df-mpq 10325  df-ltpq 10326  df-enq 10327  df-nq 10328  df-erq 10329  df-plq 10330  df-mq 10331  df-1nq 10332  df-rq 10333  df-ltnq 10334  df-np 10397

This theorem is referenced by:  1pr  10431