MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nrgdsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nrgdsdi 22591
Description: Distribute a distance calculation. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
nmmul.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
nmmul.n 𝑁 = (norm‘𝑅)
nmmul.t · = (.r𝑅)
nrgdsdi.d 𝐷 = (dist‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
nrgdsdi ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))

Proof of Theorem nrgdsdi
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmRing)
2 simpr1 1210 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
3 nrgring 22589 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)
43adantr 472 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ Ring)
5 ringgrp 18673 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr2 1212 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
8 simpr3 1214 . . . . 5 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
9 nmmul.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝑅)
10 eqid 2724 . . . . . 6 (-g𝑅) = (-g𝑅)
119, 10grpsubcl 17617 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
126, 7, 8, 11syl3anc 1439 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
13 nmmul.n . . . . 5 𝑁 = (norm‘𝑅)
14 nmmul.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
159, 13, 14nmmul 22590 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝐵(-g𝑅)𝐶) ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))))
161, 2, 12, 15syl3anc 1439 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶))) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))))
179, 14, 10, 4, 2, 7, 8ringsubdi 18720 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶)))
1817fveq2d 6308 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝑁‘(𝐴 · (𝐵(-g𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
1916, 18eqtr3d 2760 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
20 nrgngp 22588 . . . . 5 (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ NrmGrp)
2120adantr 472 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝑅 ∈ NrmGrp)
22 nrgdsdi.d . . . . 5 𝐷 = (dist‘𝑅)
2313, 9, 10, 22ngpds 22530 . . . 4 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ 𝐵𝑋𝐶𝑋) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶)))
2421, 7, 8, 23syl3anc 1439 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝐷𝐶) = (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶)))
2524oveq2d 6781 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝑁𝐴) · (𝑁‘(𝐵(-g𝑅)𝐶))))
269, 14ringcl 18682 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
274, 2, 7, 26syl3anc 1439 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋)
289, 14ringcl 18682 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
294, 2, 8, 28syl3anc 1439 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
3013, 9, 10, 22ngpds 22530 . . 3 ((𝑅 ∈ NrmGrp ∧ (𝐴 · 𝐵) ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
3121, 27, 29, 30syl3anc 1439 . 2 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)) = (𝑁‘((𝐴 · 𝐵)(-g𝑅)(𝐴 · 𝐶))))
3219, 25, 313eqtr4d 2768 1 ((𝑅 ∈ NrmRing ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝑁𝐴) · (𝐵𝐷𝐶)) = ((𝐴 · 𝐵)𝐷(𝐴 · 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  cfv 6001  (class class class)co 6765   · cmul 10054  Basecbs 15980  .rcmulr 16065  distcds 16073  Grpcgrp 17544  -gcsg 17546  Ringcrg 18668  normcnm 22503  NrmGrpcngp 22504  NrmRingcnrg 22506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-map 7976  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-2 11192  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-rp 11947  df-xneg 12060  df-xadd 12061  df-xmul 12062  df-ndx 15983  df-slot 15984  df-base 15986  df-sets 15987  df-plusg 16077  df-0g 16225  df-topgen 16227  df-mgm 17364  df-sgrp 17406  df-mnd 17417  df-grp 17547  df-minusg 17548  df-sbg 17549  df-mgp 18611  df-ur 18623  df-ring 18670  df-abv 18940  df-psmet 19861  df-xmet 19862  df-met 19863  df-bl 19864  df-mopn 19865  df-top 20822  df-topon 20839  df-topsp 20860  df-bases 20873  df-xms 22247  df-ms 22248  df-nm 22509  df-ngp 22510  df-nrg 22512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator