Theorem nrgring 23274

Description: A normed ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nrgring	⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Proof of Theorem nrgring

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2823	. . 3 ⊢ (norm‘𝑅) = (norm‘𝑅)
2		eqid 2823	. . 3 ⊢ (AbsVal‘𝑅) = (AbsVal‘𝑅)
3	1, 2	nrgabv 23272	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → (norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅))
4	2	abvrcl 19594	. 2 ⊢ ((norm‘𝑅) ∈ (AbsVal‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
5	3, 4	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ NrmRing → 𝑅 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  Ringcrg 19299  AbsValcabv 19589  normcnm 23188  NrmRingcnrg 23191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fv 6365  df-abv 19590  df-nrg 23197

This theorem is referenced by:  nrgdsdi  23276  nrgdsdir  23277  nmdvr  23281  nrgtgp  23283  rlmnlm  23299  nrgtrg  23301  nrginvrcnlem  23302  nrginvrcn  23303  nrgtdrg  23304  rlmbn  23966  iistmd  31147  zrhnm  31212  cnzh  31213  rezh  31214