MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nthruc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nthruc 14686
Description: The sequence , , , , and forms a chain of proper subsets. In each case the proper subset relationship is shown by demonstrating a number that belongs to one set but not the other. We show that zero belongs to but not , one-half belongs to but not , the square root of 2 belongs to but not , and finally that the imaginary number i belongs to but not . See nthruz 14687 for a further refinement. (Contributed by NM, 12-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
nthruc ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))

Proof of Theorem nthruc
StepHypRef Expression
1 nnssz 11137 . . . 4 ℕ ⊆ ℤ
2 0z 11128 . . . . 5 0 ∈ ℤ
3 0nnn 10806 . . . . 5 ¬ 0 ∈ ℕ
42, 3pm3.2i 469 . . . 4 (0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ)
5 ssnelpss 3584 . . . 4 (ℕ ⊆ ℤ → ((0 ∈ ℤ ∧ ¬ 0 ∈ ℕ) → ℕ ⊊ ℤ))
61, 4, 5mp2 9 . . 3 ℕ ⊊ ℤ
7 zssq 11536 . . . 4 ℤ ⊆ ℚ
8 1z 11147 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 2nn 10939 . . . . . 6 2 ∈ ℕ
10 znq 11533 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (1 / 2) ∈ ℚ)
118, 9, 10mp2an 703 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℚ
12 halfnz 11194 . . . . 5 ¬ (1 / 2) ∈ ℤ
1311, 12pm3.2i 469 . . . 4 ((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ)
14 ssnelpss 3584 . . . 4 (ℤ ⊆ ℚ → (((1 / 2) ∈ ℚ ∧ ¬ (1 / 2) ∈ ℤ) → ℤ ⊊ ℚ))
157, 13, 14mp2 9 . . 3 ℤ ⊊ ℚ
166, 15pm3.2i 469 . 2 (ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ)
17 qssre 11539 . . . 4 ℚ ⊆ ℝ
18 sqrt2re 14685 . . . . 5 (√‘2) ∈ ℝ
19 sqrt2irr 14684 . . . . . 6 (√‘2) ∉ ℚ
2019neli 2789 . . . . 5 ¬ (√‘2) ∈ ℚ
2118, 20pm3.2i 469 . . . 4 ((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ)
22 ssnelpss 3584 . . . 4 (ℚ ⊆ ℝ → (((√‘2) ∈ ℝ ∧ ¬ (√‘2) ∈ ℚ) → ℚ ⊊ ℝ))
2317, 21, 22mp2 9 . . 3 ℚ ⊊ ℝ
24 ax-resscn 9747 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
25 ax-icn 9749 . . . . 5 i ∈ ℂ
26 inelr 10764 . . . . 5 ¬ i ∈ ℝ
2725, 26pm3.2i 469 . . . 4 (i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ)
28 ssnelpss 3584 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ((i ∈ ℂ ∧ ¬ i ∈ ℝ) → ℝ ⊊ ℂ))
2924, 27, 28mp2 9 . . 3 ℝ ⊊ ℂ
3023, 29pm3.2i 469 . 2 (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ)
3116, 30pm3.2i 469 1 ((ℕ ⊊ ℤ ∧ ℤ ⊊ ℚ) ∧ (ℚ ⊊ ℝ ∧ ℝ ⊊ ℂ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 382  wcel 1938  wss 3444  wpss 3445  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9688  cr 9689  0cc0 9690  1c1 9691  ici 9692   / cdiv 10432  cn 10774  2c2 10824  cz 11117  cq 11529  csqrt 13678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-er 7504  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-sup 8106  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-n0 11047  df-z 11118  df-uz 11427  df-q 11530  df-rp 11574  df-seq 12531  df-exp 12590  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator