Users' Mathboxes Mathbox for Richard Penner < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ntrelmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrelmap 38243
Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrrn.x 𝑋 = 𝐽
ntrrn.i 𝐼 = (int‘𝐽)
Assertion
Ref Expression
ntrelmap (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem ntrelmap
StepHypRef Expression
1 ntrrn.x . . 3 𝑋 = 𝐽
2 ntrrn.i . . 3 𝐼 = (int‘𝐽)
31, 2ntrf2 38242 . 2 (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
41topopn 20692 . . . 4 (𝐽 ∈ Top → 𝑋𝐽)
5 pwexg 4841 . . . 4 (𝑋𝐽 → 𝒫 𝑋 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
76, 6elmapd 7856 . 2 (𝐽 ∈ Top → (𝐼 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋) ↔ 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
83, 7mpbird 247 1 (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋𝑚 𝒫 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1481  wcel 1988  Vcvv 3195  𝒫 cpw 4149   cuni 4427  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  𝑚 cmap 7842  Topctop 20679  intcnt 20802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-id 5014  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-map 7844  df-top 20680  df-topon 20697  df-ntr 20805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator