Theorem ntrelmap 40468

Description: The interior function is a map from the powerset of the base set to itself. (Contributed by RP, 22-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
ntrrn.x	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
ntrrn.i	⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
ntrelmap	⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Proof of Theorem ntrelmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ntrrn.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2		ntrrn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (int‘𝐽)
3	1, 2	ntrf2 40467	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋)
4	1	topopn 21508	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝑋 ∈ 𝐽)
5	4	pwexd 5273	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝒫 𝑋 ∈ V)
6	5, 5	elmapd 8414	. 2 ⊢ (𝐽 ∈ Top → (𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋) ↔ 𝐼:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋))
7	3, 6	mpbird 259	1 ⊢ (𝐽 ∈ Top → 𝐼 ∈ (𝒫 𝑋 ↑m 𝒫 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3495  𝒫 cpw 4539  ∪ cuni 4832  ⟶wf 6346  ‘cfv 6350  (class class class)co 7150   ↑_m cmap 8400  Topctop 21495  intcnt 21619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-map 8402  df-top 21496  df-topon 21513  df-ntr 21622

This theorem is referenced by: (None)