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Theorem ntrivcvg 14333
Description: A non-trivially converging infinite product converges. (Contributed by Scott Fenton, 18-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrivcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
ntrivcvg.2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
ntrivcvg.3 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
ntrivcvg (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹,𝑛,𝑦   𝜑,𝑘,𝑦   𝑘,𝑀,𝑛,𝑦   𝜑,𝑛,𝑦   𝑘,𝑍,𝑦
Allowed substitution hint:   𝑍(𝑛)

Proof of Theorem ntrivcvg
StepHypRef Expression
1 ntrivcvg.2 . 2 (𝜑 → ∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2 uzm1 11454 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
3 ntrivcvg.1 . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3eleq2s 2610 . . . . . . . 8 (𝑛𝑍 → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
54ad2antlr 758 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
6 seqeq1 12531 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 𝑀 → seq𝑛( · , 𝐹) = seq𝑀( · , 𝐹))
76breq1d 4491 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
8 seqex 12530 . . . . . . . . . . 11 seq𝑀( · , 𝐹) ∈ V
9 vex 3080 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
108, 9breldm 5142 . . . . . . . . . 10 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
117, 10syl6bi 241 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑀 → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
1211adantld 481 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
13 simplr 787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → (𝑛 − 1) ∈ 𝑍)
14 ntrivcvg.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1514adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1615adantlr 746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
1716adantlr 746 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
18 uzssz 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
193, 18eqsstri 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑍 ⊆ ℤ
20 simplr 787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛𝑍)
2119, 20sseldi 3470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℤ)
2221zcnd 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 𝑛 ∈ ℂ)
23 1cnd 9809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → 1 ∈ ℂ)
2422, 23npcand 10145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → ((𝑛 − 1) + 1) = 𝑛)
2524seqeq1d 12534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) = seq𝑛( · , 𝐹))
2625breq1d 4491 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → (seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 ↔ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦))
2726biimpar 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq((𝑛 − 1) + 1)( · , 𝐹) ⇝ 𝑦)
283, 13, 17, 27clim2prod 14324 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦))
29 ovex 6453 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) ∈ V
308, 29breldm 5142 . . . . . . . . . . . 12 (seq𝑀( · , 𝐹) ⇝ ((seq𝑀( · , 𝐹)‘(𝑛 − 1)) · 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3128, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3231an32s 841 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) ∧ (𝑛 − 1) ∈ 𝑍) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3332expcom 449 . . . . . . . . 9 ((𝑛 − 1) ∈ 𝑍 → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
343eqcomi 2523 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) = 𝑍
3533, 34eleq2s 2610 . . . . . . . 8 ((𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
3612, 35jaoi 392 . . . . . . 7 ((𝑛 = 𝑀 ∨ (𝑛 − 1) ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
375, 36mpcom 37 . . . . . 6 (((𝜑𝑛𝑍) ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
3837ex 448 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → (seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
3938adantld 481 . . . 4 ((𝜑𝑛𝑍) → ((𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4039exlimdv 1814 . . 3 ((𝜑𝑛𝑍) → (∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
4140rexlimdva 2917 . 2 (𝜑 → (∃𝑛𝑍𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , 𝐹) ⇝ 𝑦) → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ ))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → seq𝑀( · , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 381  wa 382   = wceq 1474  wex 1694  wcel 1938  wne 2684  wrex 2801   class class class wbr 4481  dom cdm 4932  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9687  0cc0 9689  1c1 9690   + caddc 9692   · cmul 9694  cmin 10015  cz 11116  cuz 11423  seqcseq 12528  cli 13925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-inf2 8295  ax-cnex 9745  ax-resscn 9746  ax-1cn 9747  ax-icn 9748  ax-addcl 9749  ax-addrcl 9750  ax-mulcl 9751  ax-mulrcl 9752  ax-mulcom 9753  ax-addass 9754  ax-mulass 9755  ax-distr 9756  ax-i2m1 9757  ax-1ne0 9758  ax-1rid 9759  ax-rnegex 9760  ax-rrecex 9761  ax-cnre 9762  ax-pre-lttri 9763  ax-pre-lttrn 9764  ax-pre-ltadd 9765  ax-pre-mulgt0 9766  ax-pre-sup 9767
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6832  df-1st 6932  df-2nd 6933  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-rdg 7267  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-sup 8105  df-pnf 9829  df-mnf 9830  df-xr 9831  df-ltxr 9832  df-le 9833  df-sub 10017  df-neg 10018  df-div 10432  df-nn 10774  df-2 10832  df-3 10833  df-n0 11046  df-z 11117  df-uz 11424  df-rp 11571  df-fz 12063  df-seq 12529  df-exp 12588  df-cj 13542  df-re 13543  df-im 13544  df-sqrt 13678  df-abs 13679  df-clim 13929
This theorem is referenced by:  iprodclim2  14434  iprodcl  14436
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