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Theorem ntrneikb 37874
Description: The interiors of disjoint sets are disjoint if and only if the neighborhoods of every point contain no disjoint sets. (Contributed by RP, 11-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ntrnei.o 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
ntrnei.f 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
ntrnei.r (𝜑𝐼𝐹𝑁)
Assertion
Ref Expression
ntrneikb (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑚,𝑠,𝑡,𝑥   𝑘,𝐼,𝑙,𝑚,𝑥   𝜑,𝑖,𝑗,𝑘,𝑙,𝑠,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝐼(𝑡,𝑖,𝑗,𝑠)   𝑁(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)   𝑂(𝑥,𝑡,𝑖,𝑗,𝑘,𝑚,𝑠,𝑙)

Proof of Theorem ntrneikb
StepHypRef Expression
1 con34b 306 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
21albii 1744 . . . . . 6 (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
3 19.21v 1865 . . . . . 6 (∀𝑥(¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) ↔ (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
4 nne 2794 . . . . . . 7 (¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑠𝑡) = ∅)
5 elin 3774 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)))
65imbi1i 339 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
7 noel 3895 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑥 ∈ ∅
8 imnot 355 . . . . . . . . . . 11 𝑥 ∈ ∅ → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))))
97, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅) ↔ ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)))
106, 9bitr2i 265 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
1110albii 1744 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
12 dfss2 3572 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) → 𝑥 ∈ ∅))
13 ss0b 3945 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) ⊆ ∅ ↔ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅)
1411, 12, 133bitr2i 288 . . . . . . 7 (∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅)
154, 14imbi12i 340 . . . . . 6 ((¬ (𝑠𝑡) ≠ ∅ → ∀𝑥 ¬ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) ↔ ((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅))
162, 3, 153bitrri 287 . . . . 5 (((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
17 ntrnei.o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑂 = (𝑖 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝑘 ∈ (𝒫 𝑗𝑚 𝑖) ↦ (𝑙𝑗 ↦ {𝑚𝑖𝑙 ∈ (𝑘𝑚)})))
18 ntrnei.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐹 = (𝒫 𝐵𝑂𝐵)
19 ntrnei.r . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐼𝐹𝑁)
2017, 18, 19ntrneiiex 37856 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵))
21 elmapi 7823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (𝒫 𝐵𝑚 𝒫 𝐵) → 𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐼:𝒫 𝐵⟶𝒫 𝐵)
2322ffvelrnda 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ∈ 𝒫 𝐵)
2524elpwid 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐼𝑠) ⊆ 𝐵)
2625sseld 3582 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) → 𝑥𝐵))
2726adantrd 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → 𝑥𝐵))
2827imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) → 𝑥𝐵)
29 biimt 350 . . . . . . . . . . 11 (𝑥𝐵 → ((𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡))) → ((𝑠𝑡) ≠ ∅ ↔ (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3130pm5.74da 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
32 bi2.04 376 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑥𝐵 → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3331, 32syl6bb 276 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ (𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
3433albidv 1846 . . . . . . 7 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))))
35 df-ral 2912 . . . . . . 7 (∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵 → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3634, 35syl6bbr 278 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
3719ad3antrrr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝐼𝐹𝑁)
38 simpr 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
39 simpllr 798 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑠 ∈ 𝒫 𝐵)
4017, 18, 37, 38, 39ntrneiel 37861 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ↔ 𝑠 ∈ (𝑁𝑥)))
41 simplr 791 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵)
4217, 18, 37, 38, 41ntrneiel 37861 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (𝑥 ∈ (𝐼𝑡) ↔ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)))
4340, 42anbi12d 746 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) ↔ (𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥))))
4443imbi1d 331 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑥𝐵) → (((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4544ralbidva 2979 . . . . . 6 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥𝐵 ((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4636, 45bitrd 268 . . . . 5 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑥((𝑥 ∈ (𝐼𝑠) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼𝑡)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4716, 46syl5bb 272 . . . 4 (((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → (((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4847ralbidva 2979 . . 3 ((𝜑𝑠 ∈ 𝒫 𝐵) → (∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
4948ralbidva 2979 . 2 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
50 alrot3 2035 . . . 4 (∀𝑥𝑠𝑡((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑠𝑡𝑥((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
51 3anrot 1041 . . . . . . 7 ((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) ↔ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵))
5251imbi1i 339 . . . . . 6 (((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
5352albii 1744 . . . . 5 (∀𝑥((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
54532albii 1745 . . . 4 (∀𝑠𝑡𝑥((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑠𝑡𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
5550, 54bitr2i 265 . . 3 (∀𝑠𝑡𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)) ↔ ∀𝑥𝑠𝑡((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
56 r3al 2935 . . 3 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑠𝑡𝑥((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
57 r3al 2935 . . 3 (∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝑠𝑡((𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
5855, 56, 573bitr4i 292 . 2 (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵𝑥𝐵 ((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅))
5949, 58syl6bb 276 1 (𝜑 → (∀𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠𝑡) = ∅ → ((𝐼𝑠) ∩ (𝐼𝑡)) = ∅) ↔ ∀𝑥𝐵𝑠 ∈ 𝒫 𝐵𝑡 ∈ 𝒫 𝐵((𝑠 ∈ (𝑁𝑥) ∧ 𝑡 ∈ (𝑁𝑥)) → (𝑠𝑡) ≠ ∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036  wal 1478   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  Vcvv 3186  cin 3554  wss 3555  c0 3891  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  𝑚 cmap 7802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-map 7804
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