MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrss 20853
Description: Subset relationship for interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrss ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))

Proof of Theorem ntrss
StepHypRef Expression
1 sscon 3742 . . . . . . 7 (𝑇𝑆 → (𝑋𝑆) ⊆ (𝑋𝑇))
21adantl 482 . . . . . 6 ((𝑆𝑋𝑇𝑆) → (𝑋𝑆) ⊆ (𝑋𝑇))
3 difss 3735 . . . . . 6 (𝑋𝑇) ⊆ 𝑋
42, 3jctil 560 . . . . 5 ((𝑆𝑋𝑇𝑆) → ((𝑋𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑆) ⊆ (𝑋𝑇)))
5 clscld.1 . . . . . . 7 𝑋 = 𝐽
65clsss 20852 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑋𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑆) ⊆ (𝑋𝑇)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑇)))
763expb 1265 . . . . 5 ((𝐽 ∈ Top ∧ ((𝑋𝑇) ⊆ 𝑋 ∧ (𝑋𝑆) ⊆ (𝑋𝑇))) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑇)))
84, 7sylan2 491 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑇𝑆)) → ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑆)) ⊆ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑇)))
98sscond 3745 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑇𝑆)) → (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑇))) ⊆ (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑆))))
10 sstr2 3608 . . . . 5 (𝑇𝑆 → (𝑆𝑋𝑇𝑋))
1110impcom 446 . . . 4 ((𝑆𝑋𝑇𝑆) → 𝑇𝑋)
125ntrval2 20849 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑇𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑇))))
1311, 12sylan2 491 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑇𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑇))))
145ntrval2 20849 . . . 4 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑆))))
1514adantrr 753 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑇𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝑋 ∖ ((cls‘𝐽)‘(𝑋𝑆))))
169, 13, 153sstr4d 3646 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ (𝑆𝑋𝑇𝑆)) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
17163impb 1259 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋𝑇𝑆) → ((int‘𝐽)‘𝑇) ⊆ ((int‘𝐽)‘𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1037   = wceq 1482  wcel 1989  cdif 3569  wss 3572   cuni 4434  cfv 5886  Topctop 20692  intcnt 20815  clsccl 20816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-iin 4521  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-top 20693  df-cld 20817  df-ntr 20818  df-cls 20819
This theorem is referenced by:  ntrin  20859  ntrcls0  20874  dvreslem  23667  dvres2lem  23668  dvaddbr  23695  dvmulbr  23696  dvcnvrelem2  23775  ntruni  32306  cldregopn  32310  limciccioolb  39659  limcicciooub  39675  cncfiooicclem1  39875
  Copyright terms: Public domain W3C validator