MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrss2 21595
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrss2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 21574 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss2 4205 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
43unissi 4855 . . 3 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5 unipw 5334 . . 3 𝒫 𝑆 = 𝑆
64, 5sseqtri 4002 . 2 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
72, 6eqsstrdi 4020 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cin 3934  wss 3935  𝒫 cpw 4537   cuni 4832  cfv 6349  Topctop 21431  intcnt 21555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-top 21432  df-ntr 21558
This theorem is referenced by:  ntrin  21599  neiint  21642  opnnei  21658  topssnei  21662  maxlp  21685  restntr  21720  iscnp4  21801  cnntri  21809  cnntr  21813  cnprest  21827  llycmpkgen2  22088  xkococnlem  22197  flimopn  22513  fclsneii  22555  fcfnei  22573  subgntr  22644  iccntr  23358  rectbntr0  23369  bcthlem5  23860  limcflf  24408  dvbss  24428  perfdvf  24430  dvreslem  24436  dvcnp2  24446  dvnres  24457  dvaddbr  24464  dvcmulf  24471  dvmptres2  24488  dvmptcmul  24490  dvmptntr  24497  dvcnvre  24545  taylthlem1  24890  taylthlem2  24891  ulmdvlem3  24919  lgamucov2  25544  ubthlem1  28575  kur14lem6  32356  cvmlift2lem12  32459  opnbnd  33571  opnregcld  33576  cldregopn  33577  dvresntr  42082
  Copyright terms: Public domain W3C validator