MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ntrss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ntrss2 20801
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrss2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 20780 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss2 3818 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
43unissi 4434 . . 3 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5 unipw 4889 . . 3 𝒫 𝑆 = 𝑆
64, 5sseqtri 3622 . 2 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
72, 6syl6eqss 3640 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3559  wss 3560  𝒫 cpw 4136   cuni 4409  cfv 5857  Topctop 20638  intcnt 20761
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-top 20639  df-ntr 20764
This theorem is referenced by:  ntrin  20805  neiint  20848  opnnei  20864  topssnei  20868  maxlp  20891  restntr  20926  iscnp4  21007  cnntri  21015  cnntr  21019  cnprest  21033  llycmpkgen2  21293  xkococnlem  21402  flimopn  21719  fclsneii  21761  fcfnei  21779  subgntr  21850  iccntr  22564  rectbntr0  22575  bcthlem5  23065  limcflf  23585  dvbss  23605  perfdvf  23607  dvreslem  23613  dvcnp2  23623  dvnres  23634  dvaddbr  23641  dvcmulf  23648  dvmptres2  23665  dvmptcmul  23667  dvmptntr  23674  dvcnvre  23720  taylthlem1  24065  taylthlem2  24066  ulmdvlem3  24094  lgamucov2  24699  ubthlem1  27614  kur14lem6  30954  cvmlift2lem12  31057  opnbnd  32015  opnregcld  32020  cldregopn  32021  dvresntr  39468
  Copyright terms: Public domain W3C validator