Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwlk1lem2f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwlk1lem2f 27080
 Description: 𝑇 is a function, mapping a closed walk having a fixed length and starting at a fixed vertex) with the last but 2 vertex is identical with the first (and therefore last) vertex to the pair of the shorter closed walk and its successor in the longer closed walk, which must be a neighbor of the first vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2f ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2f
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3 extwwlkfab.c . . . . . . 7 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
41, 2, 3extwwlkfab 27078 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
54eleq2d 2684 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ 𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)}))
6 rabid 3106 . . . . 5 (𝑤 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
75, 6syl6bb 276 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
8 simprr1 1107 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)))
9 simprr2 1108 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
108, 9opelxpd 5109 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))) → ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
1110ex 450 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
127, 11sylbid 230 . . 3 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
1312imp 445 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩ ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
14 numclwwlk.t . 2 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
1513, 14fmptd 6340 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911  ⟨cop 4154   ↦ cmpt 4673   × cxp 5072  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606  0cc0 9880  1c1 9881   − cmin 10210  ℕcn 10964  2c2 11014  3c3 11015  ℤ≥cuz 11631   substr csubstr 13234  Vtxcvtx 25774   USGraph cusgr 25937   NeighbVtx cnbgr 26111   ClWWalksN cclwwlksn 26743 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-substr 13242  df-edg 25840  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-usgr 25939  df-nbgr 26115  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745 This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1  27082  numclwlk1lem2fo  27083
 Copyright terms: Public domain W3C validator