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Theorem numclwlk1lem2f1 27076
Description: 𝑇 is a 1-1 function. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2f1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2f1
Dummy variables 𝑢 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3 extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4 numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4numclwlk1lem2f 27074 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
61, 2, 3, 4numclwlk1lem2fv 27075 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
76ad2antrl 763 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
81, 2, 3, 4numclwlk1lem2fv 27075 . . . . . 6 (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑢) = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
98ad2antll 764 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑢) = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
107, 9eqeq12d 2641 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) ↔ ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩))
11 ovex 6633 . . . . . 6 (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ V
12 fvex 6160 . . . . . 6 (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
1311, 12opth 4910 . . . . 5 (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
14 uzuzle23 11673 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
153numclwwlkovgel 27071 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
1614, 15sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
171clwwlknbp 26746 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
18173ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁))
19 3simpc 1058 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))
2018, 19jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
2116, 20syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
22213adant1 1077 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)))))
233numclwwlkovgel 27071 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
2414, 23sylan2 491 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
251clwwlknbp 26746 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁))
26253ad2ant1 1080 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → (𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁))
27 3simpc 1058 . . . . . . . . . 10 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))
2826, 27jca 554 . . . . . . . . 9 ((𝑢 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))
2924, 28syl6bi 243 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))))
30293adant1 1077 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))))
31 simpll 789 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
3231ad2antrl 763 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
33 simprll 801 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
3433adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 𝑢 ∈ Word 𝑉)
35 eleq1 2692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3)))
3635eqcoms 2634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) ↔ (#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3)))
37 eluz2 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)))
38 1red 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
39 3re 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3 ∈ ℝ
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → 3 ∈ ℝ)
41 zre 11326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (#‘𝑝) ∈ ℝ)
4238, 40, 413jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ))
43 1lt3 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1 < 3
44 ltletr 10074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → ((1 < 3 ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝)))
4544expd 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℝ) → (1 < 3 → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝))))
4642, 43, 45mpisyl 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑝) ∈ ℤ → (3 ≤ (#‘𝑝) → 1 < (#‘𝑝)))
4746imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
48473adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑝) ∈ ℤ ∧ 3 ≤ (#‘𝑝)) → 1 < (#‘𝑝))
4937, 48sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) ∈ (ℤ‘3) → 1 < (#‘𝑝))
5036, 49syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (#‘𝑝)))
5150com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
52513ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (#‘𝑝)))
5352com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
5453ad3antlr 766 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 1 < (#‘𝑝)))
5554impcom 446 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → 1 < (#‘𝑝))
56 2swrd2eqwrdeq 13625 . . . . . . . . . 10 ((𝑝 ∈ Word 𝑉𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (#‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
5732, 34, 55, 56syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
58 eqtr3 2647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
5958expcom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑢) = 𝑁 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6059ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6160com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6261ad2antlr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢)))
6362imp 445 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
6463adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (#‘𝑝) = (#‘𝑢))
6564biantrurd 529 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((#‘𝑝) = (#‘𝑢) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
66 3anan12 1049 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢))))
6766a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
68 eqeq2 2637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
69 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 = (#‘𝑝) → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
7069eqcoms 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑁 − 2) = ((#‘𝑝) − 2))
7170fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)))
7271eqeq1d 2628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7372biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7468, 73syl6bi 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑝‘0) = 𝑋 → ((𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)))
7574imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7675com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7776adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → (((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0)) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋))
7877imp 445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
7978adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
80 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
8180fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘(𝑁 − 2)))
82 eqeq1 2630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑢‘0) = (𝑢‘(𝑁 − 2)) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8382eqcoms 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0) → ((𝑢‘0) = 𝑋 ↔ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
8483biimpac 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)) → (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → (𝑢‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
8681, 85sylan9eq 2680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((#‘𝑝) = 𝑁 ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
8786ad4ant24 1295 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
8879, 87eqtr4d 2663 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)))
8988adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)))
9089biantrurd 529 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)))))
9180opeq2d 4382 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩ = ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)
9291oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9391oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9492, 93eqeq12d 2641 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
9594ad3antlr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
9695adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
97 lsw 13285 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)))
98 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑝) = 𝑁 → ((#‘𝑝) − 1) = (𝑁 − 1))
9998fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((#‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
10097, 99sylan9eq 2680 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → ( lastS ‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
102 lsw 13285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
103102adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
104 oveq1 6612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (#‘𝑢) → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑢) − 1))
105104eqcoms 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((#‘𝑢) − 1))
106105fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (𝑢‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1)))
107106eqeq2d 2636 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑢) = 𝑁 → (( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1))))
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → (( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)) ↔ ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘((#‘𝑢) − 1))))
109103, 108mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))) → ( lastS ‘𝑢) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
111101, 110eqeqan12d 2642 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
112111adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢) ↔ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))))
11396, 112anbi12d 746 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
11467, 90, 1133bitr2d 296 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (((𝑝 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, ((#‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((#‘𝑝) − 2)) = (𝑢‘((#‘𝑝) − 2)) ∧ ( lastS ‘𝑝) = ( lastS ‘𝑢)) ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
11557, 65, 1143bitr2d 296 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0))))) → (𝑝 = 𝑢 ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))))
116115exbiri 651 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑢 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑢) = 𝑁) ∧ ((𝑢‘0) = 𝑋 ∧ (𝑢‘(𝑁 − 2)) = (𝑢‘0)))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢)))
11722, 30, 116syl2and 500 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢)))
118117imp 445 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑢))
11913, 118syl5bi 232 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑢))
12010, 119sylbid 230 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢))
121120ralrimivva 2970 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢))
122 dff13 6467 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑢) → 𝑝 = 𝑢)))
1235, 121, 122sylanbrc 697 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  cop 4159   class class class wbr 4618  cmpt 4678   × cxp 5077  wf 5846  1-1wf1 5847  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  cr 9880  0cc0 9881  1c1 9882   < clt 10019  cle 10020  cmin 10211  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  cz 11322  cuz 11631  #chash 13054  Word cword 13225   lastS clsw 13226   substr csubstr 13229  Vtxcvtx 25769   USGraph cusgr 25932   NeighbVtx cnbgr 26105   ClWWalksN cclwwlksn 26737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-lsw 13234  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-s2 13525  df-edg 25835  df-upgr 25868  df-umgr 25869  df-usgr 25934  df-nbgr 26109  df-clwwlks 26738  df-clwwlksn 26739
This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1o  27078
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