MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwlk1lem2fo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwlk1lem2fo 27083
Description: 𝑇 is an onto function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.t 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2fo ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝐶
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2fo
Dummy variables 𝑖 𝑝 𝑎 𝑏 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
3 extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4 numclwwlk.t . . 3 𝑇 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4numclwlk1lem2f 27080 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6 elxp 5091 . . . . 5 (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ ∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
71, 2, 3numclwlk1lem2foa 27079 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
87com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
98adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
109imp 445 . . . . . . . 8 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
11 simpl 473 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
12 fveq2 6148 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑇𝑥) = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)))
1312eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩))))
141, 2, 3, 4numclwlk1lem2fv 27081 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
1615eqeq2d 2631 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → (𝑝 = (𝑇‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
1713, 16sylan9bbr 736 . . . . . . . . 9 (((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) ∧ 𝑥 = ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) → (𝑝 = (𝑇𝑥) ↔ 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
18 simprll 801 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
191nbgrisvtx 26142 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑏𝑉)
2019ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏𝑉))
21203ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑏𝑉))
22 simp1 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph )
23 uz3m2nn 11675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
24233ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
25 simp2 1060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
26 eqid 2621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
272, 1, 26numclwwlkovfel2 27072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑉) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
2822, 24, 25, 27syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
29 df-3an 1038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
3028, 29syl6bb 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋)))
31 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
32 s1cl 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3534adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
36 s1cl 13321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏𝑉 → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
3736adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉)
38 ccatass 13310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) = (𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)))
3938oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
4031, 35, 37, 39syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
41 ccatcl 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
4234, 36, 41syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉)
43 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑎) = (𝑁 − 2))
4443eqcomd 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
4645adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑎))
47 swrdccatid 13434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑎)) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
4831, 42, 46, 47syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((𝑎 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑏”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑎)
4940, 48eqtr2d 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑎 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
50 ovex 6632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V
51 lsw 13290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ V → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)))
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1))
53 simpl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
54 ccatcl 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
5553, 33, 54syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉)
56 lswccats1 13349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉𝑏𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
5755, 56sylan 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ( lastS ‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑏)
58 ccatlen 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑏”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
5955, 36, 58syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)))
6053, 33anim12i 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉))
62 ccatlen 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)))
64 s1len 13324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1
6564a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘⟨“𝑏”⟩) = 1)
6663, 65oveq12d 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((#‘(𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + (#‘⟨“𝑏”⟩)) = (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1))
67 s1len 13324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (#‘⟨“𝑋”⟩) = 1)
6943, 68oveqan12d 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) = ((𝑁 − 2) + 1))
7069oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = (((𝑁 − 2) + 1) + 1))
71 eluzelcn 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
72 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℂ → 𝑁 ∈ ℂ)
73 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
7472, 73subcld 10336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → (𝑁 − 2) ∈ ℂ)
75 1cnd 10000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
7674, 75, 75addassd 10006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + (1 + 1)))
77 1p1e2 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (1 + 1) = 2
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℂ → (1 + 1) = 2)
7978oveq2d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 2) + (1 + 1)) = ((𝑁 − 2) + 2))
8076, 79eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
8171, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = ((𝑁 − 2) + 2))
82 2cnd 11037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
8371, 82npcand 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 2) = 𝑁)
8481, 83eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8584adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8685adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((𝑁 − 2) + 1) + 1) = 𝑁)
8770, 86eqtrd 2655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
8887adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((#‘𝑎) + (#‘⟨“𝑋”⟩)) + 1) = 𝑁)
8959, 66, 883eqtrd 2659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) = 𝑁)
9089oveq1d 6619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9190fveq2d 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘((#‘((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)) − 1)) = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9252, 57, 913eqtr3a 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → 𝑏 = (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9349, 92opeq12d 4378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑏𝑉) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
9493exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
95943ad2antl1 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9695adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9796com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
98973adant1 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑎) − 1)){(𝑎𝑖), (𝑎‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑎), (𝑎‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑎) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
9930, 98sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏𝑉 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
10099com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏𝑉 → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
10121, 100syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
102101com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)))
103102imp 445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
104103adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩))
105104imp 445 . . . . . . . . . . 11 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
106105adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
10718, 106eqtrd 2655 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → 𝑝 = ⟨(((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩)‘(𝑁 − 1))⟩)
10811, 17, 107rspcedvd 3302 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑏”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
10910, 108mpancom 702 . . . . . . 7 (((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
110109ex 450 . . . . . 6 ((𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
111110exlimivv 1857 . . . . 5 (∃𝑎𝑏(𝑝 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∧ (𝑎 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑏 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
1126, 111sylbi 207 . . . 4 (𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
113112impcom 446 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
114113ralrimiva 2960 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥))
115 dffo3 6330 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))∃𝑥 ∈ (𝑋𝐶𝑁)𝑝 = (𝑇𝑥)))
1165, 114, 115sylanbrc 697 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–onto→((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wex 1701  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  {crab 2911  Vcvv 3186  {cpr 4150  cop 4154  cmpt 4673   × cxp 5072  wf 5843  ontowfo 5845  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  cc 9878  0cc0 9880  1c1 9881   + caddc 9883  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  cuz 11631  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230   lastS clsw 13231   ++ cconcat 13232  ⟨“cs1 13233   substr csubstr 13234  Vtxcvtx 25774  Edgcedg 25839   USGraph cusgr 25937   NeighbVtx cnbgr 26111   ClWWalksN cclwwlksn 26743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-edg 25840  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-usgr 25939  df-nbgr 26115  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745
This theorem is referenced by:  numclwlk1lem2f1o  27084
  Copyright terms: Public domain W3C validator