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Theorem numclwlk1lem2foa 27073
Description: Going forth and back form the end of a (closed) walk: 𝑃 represents the closed walk p0, ..., pn-3, p0. With 𝑋 = p0 and 𝑄 = pn-1, ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) represents the closed walk p0, ..., pn-3, p0, pn-1, p0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
numclwlk1lem2foa ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑤,𝑃   𝑤,𝑄
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑃(𝑣,𝑛)   𝑄(𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwlk1lem2foa
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝐺 ∈ USGraph )
2 uz3m2nn 11675 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
323ad2ant3 1082 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
4 simp2 1060 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑋𝑉)
5 extwwlkfab.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
6 extwwlkfab.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7 eqid 2626 . . . . . . . . . . 11 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
85, 6, 7numclwwlkovfel2 27066 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ 𝑋𝑉) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
91, 3, 4, 8syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)))
105, 6, 7numclwwlkovf2ex 27069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
1110ad4ant134 1293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺))
126nbgrisvtx 26136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑄𝑉)
1312ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐺 ∈ USGraph → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑄𝑉))
14133ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑄𝑉))
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑄𝑉))
16 simplll 797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑃 ∈ Word 𝑉)
17 s1cl 13316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
18173ad2ant2 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
1918adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
21 s1cl 13316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑄𝑉 → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
2221adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉)
23 ccatass 13305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) = (𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)))
2423oveq1d 6620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
2516, 20, 22, 24syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
26 ccatcl 13293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑄”⟩ ∈ Word 𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
2719, 21, 26syl2an 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉)
28 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → (#‘𝑃) = (𝑁 − 2))
2928eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
3029adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → (𝑁 − 2) = (#‘𝑃))
32 swrdccatid 13429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (#‘𝑃)) → ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑃)
3316, 27, 31, 32syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → ((𝑃 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑄”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑃)
3425, 33eqtr2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
3534exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄𝑉𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄𝑉𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))))
3736impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄𝑉𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
3815, 37syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩)))
3938imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → 𝑃 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
4039eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
4140biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
4241imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)))
43 simplrl 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)))
444adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → 𝑋𝑉)
4544anim1i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (𝑋𝑉𝑄𝑉))
46 ccatw2s1p2 13347 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑄𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑄)
4743, 45, 46syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑄)
48 eluzelcn 11643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
49 2cnd 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
50 1cnd 10001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
51 subsub 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
5251eqcomd 2632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
5348, 49, 50, 52syl3anc 1323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − (2 − 1)))
54 2m1e1 11080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (2 − 1) = 1
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (2 − 1) = 1)
5655oveq2d 6621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = (𝑁 − 1))
5753, 56eqtrd 2660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
58573ad2ant3 1082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
6059adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → ((𝑁 − 2) + 1) = (𝑁 − 1))
6160fveq2d 6154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
6247, 61eqtr3d 2662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
6362ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄𝑉𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1))))
6415, 63syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1))))
6564impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → 𝑄 = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
6665eleq1d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6766biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋))) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
6867ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
6968pm2.43a 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
7069impcom 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
7170adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))
72 ccatw2s1p1 13346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑄𝑉)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
7343, 45, 72syl2anc 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄𝑉) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
7473ex 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄𝑉 → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
7515, 74syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
7675imp 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
7842, 71, 773jca 1240 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
7911, 78jca 554 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ 𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
8079exp31 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
8180expcom 451 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
8281exp31 629 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))))
83823ad2ant1 1080 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((#‘𝑃) = (𝑁 − 2) → ((𝑃‘0) = 𝑋 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))))
84833imp 1254 . . . . . . . . . 10 (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
8584com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑃) − 1)){(𝑃𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {( lastS ‘𝑃), (𝑃‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (#‘𝑃) = (𝑁 − 2) ∧ (𝑃‘0) = 𝑋) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
869, 85sylbid 230 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
8786com14 96 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))))
8887pm2.43i 52 . . . . . 6 (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) → (𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))))
8988imp 445 . . . . 5 ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
9089impcom 446 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
91 oveq1 6612 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
9291eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2))))
93 fveq1 6149 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 1)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)))
9493eleq1d 2688 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
95 fveq1 6149 . . . . . . 7 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)))
9695eqeq1d 2628 . . . . . 6 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → ((𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋 ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
9792, 94, 963anbi123d 1396 . . . . 5 (𝑤 = ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) → (((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
9897elrab 3351 . . . 4 (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)} ↔ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ ((((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
9990, 98sylibr 224 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
100 extwwlkfab.c . . . . 5 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
1016, 5, 100extwwlkfab 27072 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
102101adantr 481 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 1)) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋) ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)})
10399, 102eleqtrrd 2707 . 2 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋))) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁))
104103ex 450 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑃 ∈ (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∧ 𝑄 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ((𝑃 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑄”⟩) ∈ (𝑋𝐶𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1992  wral 2912  {crab 2916  {cpr 4155  cop 4159  cfv 5850  (class class class)co 6605  cmpt2 6607  cc 9879  0cc0 9881  1c1 9882   + caddc 9884  cmin 10211  cn 10965  2c2 11015  3c3 11016  cuz 11631  ..^cfzo 12403  #chash 13054  Word cword 13225   lastS clsw 13226   ++ cconcat 13227  ⟨“cs1 13228   substr csubstr 13229  Vtxcvtx 25769  Edgcedg 25834   USGraph cusgr 25932   NeighbVtx cnbgr 26105   ClWWalksN cclwwlksn 26737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-2o 7507  df-oadd 7510  df-er 7688  df-map 7805  df-pm 7806  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-cda 8935  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-3 11025  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-lsw 13234  df-concat 13235  df-s1 13236  df-substr 13237  df-edg 25835  df-upgr 25868  df-umgr 25869  df-usgr 25934  df-nbgr 26109  df-clwwlks 26738  df-clwwlksn 26739
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