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Theorem numclwwlk3 27372
 Description: Statement 12 in [Huneke] p. 2: "Thus f(n) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2)." - the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) is the sum of the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) with v(n-2) = v(n) (see numclwwlk1 27351) and with v(n-2) =/= v(n) (see numclwwlk2 27361): f(n) = kf(n-2) + k^(n-2) - f(n-2) = (k-1)f(n-2) + k^(n-2). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Revised by AV, 6-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Proof of Theorem numclwwlk3
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
2 simp1 1081 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 numclwwlk3.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43finrusgrfusgr 26517 . . . 4 ((𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
51, 2, 4syl2an 493 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6 simpr2 1088 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
7 uzuzle23 11767 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
873ad2ant3 1104 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
98adantl 481 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
10 eqid 2651 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
11 eqid 2651 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
1210, 11numclwwlk3lem 27371 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) + (#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁))))
135, 6, 9, 12syl21anc 1365 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) + (#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁))))
14 eqid 2651 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
153, 14, 11numclwwlk2 27361 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
161, 2anim12ci 590 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾))
17 3simpc 1080 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
1817adantl 481 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
19 eqid 2651 . . . . 5 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
203, 10, 19numclwwlk1 27351 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
2116, 18, 20syl2anc 694 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
2215, 21oveq12d 6708 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) + (#‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁))) = (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))))
23 simpll 805 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺RegUSGraph𝐾)
24 ne0i 3954 . . . . . . 7 (𝑋𝑉𝑉 ≠ ∅)
25243ad2ant2 1103 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ≠ ∅)
2625adantl 481 . . . . 5 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑉 ≠ ∅)
273frusgrnn0 26523 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺RegUSGraph𝐾𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)
285, 23, 26, 27syl3anc 1366 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 11391 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐾 ∈ ℂ)
30 uz3m2nn 11769 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
31303anim3i 1269 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
3231adantl 481 . . . 4 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
333clwwlknonfin 27069 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
34333ad2ant1 1102 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
35 hashcl 13185 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 11391 . . . 4 ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
3732, 34, 363syl 18 . . 3 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
38 numclwlk3lem3 27322 . . 3 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
3929, 37, 9, 38syl3anc 1366 . 2 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
4013, 22, 393eqtrd 2689 1 (((𝐺RegUSGraph𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  {crab 2945  ∅c0 3948   class class class wbr 4685  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692  Fincfn 7997  ℂcc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  ℕcn 11058  2c2 11108  3c3 11109  ℕ0cn0 11330  ℤ≥cuz 11725  ↑cexp 12900  #chash 13157   lastS clsw 13324  Vtxcvtx 25919  FinUSGraphcfusgr 26253  RegUSGraphcrusgr 26508   WWalksN cwwlksn 26774  ClWWalksNOncclwwlknon 27060   FriendGraph cfrgr 27236 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-xadd 11985  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-word 13331  df-lsw 13332  df-concat 13333  df-s1 13334  df-substr 13335  df-s2 13639  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-vtx 25921  df-iedg 25922  df-edg 25985  df-uhgr 25998  df-ushgr 25999  df-upgr 26022  df-umgr 26023  df-uspgr 26090  df-usgr 26091  df-fusgr 26254  df-nbgr 26270  df-vtxdg 26418  df-rgr 26509  df-rusgr 26510  df-wwlks 26778  df-wwlksn 26779  df-wwlksnon 26780  df-clwwlk 26950  df-clwwlkn 26983  df-clwwlknon 27061  df-frgr 27237 This theorem is referenced by:  numclwwlk5  27375
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