Theorem numclwwlk3 26402

Description: Statement 12 in [Huneke] p. 2: "Thus f(n) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2)." - the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) is the sum of the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) with v(n-2) = v(n) (see numclwwlk1 26391) and with v(n-2) =/= v(n) ( see numclwwlk2 26400): f(n) = kf(n-2) + k^(n-2) - f(n-2) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
numclwwlk.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
numclwwlk.f	⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.g	⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
numclwwlk.q	⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.h	⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3	⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐸   𝑛,𝑁   𝑛,𝑉   𝑤,𝐶   𝑤,𝑁   𝐶,𝑛,𝑣,𝑤   𝑣,𝑁   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑣,𝑉   𝑤,𝐸   𝑤,𝑉   𝑤,𝐹   𝑤,𝑄   𝑤,𝐾   𝑤,𝐺   𝑣,𝐸   𝑣,𝐻,𝑤

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝐺(𝑣,𝑛)   𝐻(𝑛)   𝐾(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk3

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rusisusgra 26224	. . . 4 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝑉 USGrph 𝐸)
2	1	ad2antrr 757	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑉 USGrph 𝐸)
3		simp1 1053	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑉 ∈ Fin)
4	3	adantl 480	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑉 ∈ Fin)
5		simp2 1054	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑋 ∈ 𝑉)
6	5	adantl 480	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑋 ∈ 𝑉)
7		uzuzle23 11561	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
8	7	3ad2ant3 1076	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
9	8	adantl 480	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2))
10		numclwwlk.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑛))
11		numclwwlk.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
12		numclwwlk.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
13		numclwwlk.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
14		numclwwlk.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑤 ∈ (𝐶‘𝑛) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
15	10, 11, 12, 13, 14	numclwwlk3lem 26401	. . 3 ⊢ (((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))))
16	2, 4, 6, 9, 15	syl31anc 1320	. 2 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))))
17	10, 11, 12, 13, 14	numclwwlk2 26400	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐻𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
18		simpl 471	. . . . 5 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾)
19	18, 3	anim12ci 588	. . . 4 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾))
20		3simpc 1052	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
21	20	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)))
22	10, 11, 12	numclwwlk1 26391	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ ⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐺𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
23	19, 21, 22	syl2anc 690	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐺𝑁)) = (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))))
24	17, 23	oveq12d 6545	. 2 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐺𝑁))) = (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))))
25		rusgraprop 26222	. . . . 5 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → (𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) = 𝐾))
26		nn0cn 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
27	26	3ad2ant2 1075	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 USGrph 𝐸 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑉 ((𝑉 VDeg 𝐸)‘𝑢) = 𝐾) → 𝐾 ∈ ℂ)
28	25, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐾 ∈ ℂ)
29	28	ad2antrr 757	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → 𝐾 ∈ ℂ)
30		usgrav 25633	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
31	30	simprd 477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → 𝐸 ∈ V)
32	1, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 → 𝐸 ∈ V)
33	32	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) → 𝐸 ∈ V)
34	33, 3	anim12ci 588	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V))
35		uz3m2nn 11563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
36	35	nnnn0d 11198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
37	36	3ad2ant3 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
38	5, 37	jca 552	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
39	38	adantl 480	. . . . 5 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0))
40	10, 11	numclwwlkffin 26375	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
41	34, 39, 40	syl2anc 690	. . . 4 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
42		hashcl 12961	. . . . 5 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℕ0)
43	42	nn0cnd 11200	. . . 4 ⊢ ((𝑋𝐹(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
44	41, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
45		numclwlk3lem3 26366	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
46	29, 44, 9, 45	syl3anc 1317	. 2 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
47	16, 24, 46	3eqtrd 2647	1 ⊢ (((⟨𝑉, 𝐸⟩ RegUSGrph 𝐾 ∧ 𝑉 FriendGrph 𝐸) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3))) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (#‘(𝑋𝐹(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   ∧ w3a 1030   = wceq 1474   ∈ wcel 1976   ≠ wne 2779  ∀wral 2895  {crab 2899  Vcvv 3172  ⟨cop 4130   class class class wbr 4577   ↦ cmpt 4637  ‘cfv 5790  (class class class)co 6527   ↦ cmpt2 6529  Fincfn 7818  ℂcc 9790  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795   · cmul 9797   − cmin 10117  2c2 10917  3c3 10918  ℕ₀cn0 11139  ℤ_≥cuz 11519  ↑cexp 12677  #chash 12934   lastS clsw 13093   USGrph cusg 25625   WWalksN cwwlkn 25972   ClWWalksN cclwwlkn 26043   VDeg cvdg 26186   RegUSGrph crusgra 26216   FriendGrph cfrgra 26281

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869  ax-pre-sup 9870

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-fal 1480  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-disj 4548  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-se 4988  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-isom 5799  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-1o 7424  df-2o 7425  df-oadd 7428  df-er 7606  df-map 7723  df-pm 7724  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-fin 7822  df-sup 8208  df-oi 8275  df-card 8625  df-cda 8850  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-div 10534  df-nn 10868  df-2 10926  df-3 10927  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-rp 11665  df-xadd 11779  df-fz 12153  df-fzo 12290  df-seq 12619  df-exp 12678  df-hash 12935  df-word 13100  df-lsw 13101  df-concat 13102  df-s1 13103  df-substr 13104  df-s2 13390  df-cj 13633  df-re 13634  df-im 13635  df-sqrt 13769  df-abs 13770  df-clim 14013  df-sum 14211  df-usgra 25628  df-nbgra 25715  df-wlk 25802  df-wwlk 25973  df-wwlkn 25974  df-clwwlk 26045  df-clwwlkn 26046  df-vdgr 26187  df-rgra 26217  df-rusgra 26218  df-frgra 26282

This theorem is referenced by:  numclwwlk5  26405