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Theorem numclwwlk3lem 27113
Description: Lemma for numclwwlk3 27114. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Oct-2018.) (Revised by AV, 1-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
numclwwlk.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
numclwwlk.q 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
numclwwlk.f 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
numclwwlk.h 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
numclwwlk.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3lem (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝑉   𝑣,𝐻
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑄(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐻(𝑤,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk3lem
StepHypRef Expression
1 simpr 477 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2 eluz2nn 11678 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
3 numclwwlk.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
43numclwwlkovf 27086 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
51, 2, 4syl2an 494 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐹𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
65fveq2d 6157 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
7 pm4.42 1003 . . . . . . . 8 ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))))
8 nne 2794 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) ↔ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
98anbi2i 729 . . . . . . . . 9 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ↔ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
109orbi2i 541 . . . . . . . 8 ((((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))) ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
117, 10bitri 264 . . . . . . 7 ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
1211a1i 11 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))))
1312rabbidv 3180 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))})
14 unrab 3879 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
1513, 14syl6eqr 2673 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} = ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
1615fveq2d 6157 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}) = (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
17 numclwwlk.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1817fusgrvtxfi 26116 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FinUSGraph → 𝑉 ∈ Fin)
1918ad2antrr 761 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑉 ∈ Fin)
2017, 19syl5eqelr 2703 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (Vtx‘𝐺) ∈ Fin)
21 clwwlksnfi 26796 . . . . . 6 ((Vtx‘𝐺) ∈ Fin → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
2220, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin)
23 rabfi 8137 . . . . 5 ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
2422, 23syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin)
25 rabfi 8137 . . . . 5 ((𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∈ Fin → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
2622, 25syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin)
27 inrab 3880 . . . . 5 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))}
28 neneq 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
2928adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))
3029intnand 961 . . . . . . . . . 10 (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) → ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3130imori 429 . . . . . . . . 9 (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
32 ianor 509 . . . . . . . . 9 (¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))) ↔ (¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∨ ¬ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3331, 32mpbir 221 . . . . . . . 8 ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))
3433a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) ∧ 𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺)) → ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3534ralrimiva 2961 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
36 rabeq0 3936 . . . . . 6 ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅ ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ¬ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))))
3735, 36sylibr 224 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0)) ∧ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0)))} = ∅)
3827, 37syl5eq 2667 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅)
39 hashun 13119 . . . 4 (({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))} ∈ Fin ∧ ({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∩ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}) = ∅) → (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
4024, 26, 38, 39syl3anc 1323 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘({𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))} ∪ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
416, 16, 403eqtrd 2659 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
42 numclwwlk.q . . . . . 6 𝑄 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ ( lastS ‘𝑤) ≠ 𝑣)})
43 numclwwlk.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4417, 42, 3, 43numclwwlkovh 27106 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
451, 2, 44syl2an 494 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐻𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))})
4645fveq2d 6157 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐻𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}))
47 numclwwlk.c . . . . . 6 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = (𝑤‘0))})
4847numclwwlkovg 27093 . . . . 5 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
4948adantll 749 . . . 4 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑋𝐶𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})
5049fveq2d 6157 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐶𝑁)) = (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))}))
5146, 50oveq12d 6628 . 2 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))) = ((#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) ≠ (𝑤‘0))}) + (#‘{𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑋 ∧ (𝑤‘(𝑁 − 2)) = (𝑤‘0))})))
5241, 51eqtr4d 2658 1 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (#‘(𝑋𝐹𝑁)) = ((#‘(𝑋𝐻𝑁)) + (#‘(𝑋𝐶𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 383  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  cun 3557  cin 3558  c0 3896  cfv 5852  (class class class)co 6610  cmpt2 6612  Fincfn 7907  0cc0 9888   + caddc 9891  cmin 10218  cn 10972  2c2 11022  cuz 11639  #chash 13065   lastS clsw 13239  Vtxcvtx 25791   FinUSGraph cfusgr 26113   WWalksN cwwlksn 26604   ClWWalksN cclwwlksn 26760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-2o 7513  df-oadd 7516  df-er 7694  df-map 7811  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-n0 11245  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-seq 12750  df-exp 12809  df-hash 13066  df-word 13246  df-fusgr 26114  df-clwwlks 26761  df-clwwlksn 26762
This theorem is referenced by:  numclwwlk3  27114
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