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Theorem numclwwlk6 27102
 Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 − 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk6.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((#‘𝑉) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6
Dummy variables 𝑛 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 numclwwlk6.v . . . . . 6 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21finrusgrfusgr 26331 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
323adant2 1078 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph )
4 prmnn 15312 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
54adantr 481 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6 eqid 2621 . . . . 5 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})
71, 6numclwwlk4 27098 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (#‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)))
83, 5, 7syl2an 494 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (#‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)))
98oveq1d 6619 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃))
105adantl 482 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
11 simp3 1061 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
1211adantr 481 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
1312adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
14 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
1510adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑃 ∈ ℕ)
166, 1numclwwlkffin 27070 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑥𝑉𝑃 ∈ ℕ) → (𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃) ∈ Fin)
1713, 14, 15, 16syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃) ∈ Fin)
18 hashcl 13087 . . . . . . 7 ((𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃) ∈ Fin → (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) ∈ ℕ0)
1917, 18syl 17 . . . . . 6 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 11424 . . . . 5 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) ∈ ℤ)
2120ralrimiva 2960 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ∀𝑥𝑉 (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) ∈ ℤ)
2210, 12, 21modfsummod 14453 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 ((#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
23 simpl 473 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
24 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
2524anim1i 591 . . . . . . . 8 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ∧ 𝑥𝑉))
2625ancomd 467 . . . . . . 7 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
27 3anass 1040 . . . . . . 7 ((𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑥𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
2826, 27sylibr 224 . . . . . 6 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
29 fveq1 6147 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘0) = (𝑢‘0))
3029eqeq1d 2623 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑢 → ((𝑤‘0) = 𝑣 ↔ (𝑢‘0) = 𝑣))
3130cbvrabv 3185 . . . . . . . . 9 {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑢‘0) = 𝑣}
3231a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑛 ∈ ℕ) → {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣} = {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑢‘0) = 𝑣})
3332mpt2eq3ia 6673 . . . . . . 7 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑢 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑢‘0) = 𝑣})
341, 33numclwwlk5 27100 . . . . . 6 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑥𝑉𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃) = 1)
3523, 28, 34syl2an2r 875 . . . . 5 ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥𝑉) → ((#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃) = 1)
3635sumeq2dv 14367 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 ((#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃) = Σ𝑥𝑉 1)
3736oveq1d 6619 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 ((#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃))
3822, 37eqtrd 2655 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 (#‘(𝑥(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑣})𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃))
39 1cnd 10000 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
40 fsumconst 14450 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥𝑉 1 = ((#‘𝑉) · 1))
4111, 39, 40syl2an 494 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 1 = ((#‘𝑉) · 1))
42 hashcl 13087 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
4342nn0red 11296 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin → (#‘𝑉) ∈ ℝ)
44 ax-1rid 9950 . . . . . . 7 ((#‘𝑉) ∈ ℝ → ((#‘𝑉) · 1) = (#‘𝑉))
4543, 44syl 17 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin → ((#‘𝑉) · 1) = (#‘𝑉))
46453ad2ant3 1082 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((#‘𝑉) · 1) = (#‘𝑉))
4746adantr 481 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘𝑉) · 1) = (#‘𝑉))
4841, 47eqtrd 2655 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥𝑉 1 = (#‘𝑉))
4948oveq1d 6619 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥𝑉 1 mod 𝑃) = ((#‘𝑉) mod 𝑃))
509, 38, 493eqtrd 2659 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((#‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((#‘𝑉) mod 𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1036   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911   class class class wbr 4613  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604   ↦ cmpt2 6606  Fincfn 7899  ℂcc 9878  ℝcr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   · cmul 9885   − cmin 10210  ℕcn 10964  ℕ0cn0 11236  ℤcz 11321   mod cmo 12608  #chash 13057  Σcsu 14350   ∥ cdvds 14907  ℙcprime 15309  Vtxcvtx 25774   FinUSGraph cfusgr 26096   RegUSGraph crusgr 26322   ClWWalksN cclwwlksn 26743   FriendGraph cfrgr 26986 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-fal 1486  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-disj 4584  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-sup 8292  df-inf 8293  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-uz 11632  df-rp 11777  df-xadd 11891  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-fl 12533  df-mod 12609  df-seq 12742  df-exp 12801  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-s2 13530  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-sum 14351  df-dvds 14908  df-gcd 15141  df-prm 15310  df-phi 15395  df-vtx 25776  df-iedg 25777  df-edg 25840  df-uhgr 25849  df-ushgr 25850  df-upgr 25873  df-umgr 25874  df-uspgr 25938  df-usgr 25939  df-fusgr 26097  df-nbgr 26115  df-vtxdg 26249  df-rgr 26323  df-rusgr 26324  df-wwlks 26591  df-wwlksn 26592  df-clwwlks 26744  df-clwwlksn 26745  df-frgr 26987 This theorem is referenced by:  numclwwlk7  27103
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