Theorem numclwwlk6 28163

Description: For a prime divisor 𝑃 of 𝐾 − 1, the total number of closed walks of length 𝑃 in a 𝐾-regular friendship graph is equal modulo 𝑃 to the number of vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 3-Jun-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
numclwwlk6.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk6	⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Proof of Theorem numclwwlk6

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numclwwlk6.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	finrusgrfusgr 27341	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
3	2	3adant2 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
4		prmnn 16012	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
5	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 𝑃 ∈ ℕ)
6	1	numclwwlk4 28159	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑃 ∈ ℕ) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
7	3, 5, 6	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)))
8	7	oveq1d 7165	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃))
9	5	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝑉 ∈ Fin)
11	10	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → 𝑉 ∈ Fin)
12	11	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → 𝑉 ∈ Fin)
13	1	clwwlknonfin 27867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin)
14		hashcl 13711	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃) ∈ Fin → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
15	12, 13, 14	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℕ0)
16	15	nn0zd 12079	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
17	16	ralrimiva 3182	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) ∈ ℤ)
18	9, 11, 17	modfsummod 15143	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃))
19		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
20		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
21	20	anim1ci 617	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
22		3anass 1091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))))
23	21, 22	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)))
24	1	numclwwlk5 28161	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
25	19, 23, 24	syl2an2r 683	. . . . 5 ⊢ ((((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = 1)
26	25	sumeq2dv 15054	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = Σ𝑥 ∈ 𝑉 1)
27	26	oveq1d 7165	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 ((♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
28	18, 27	eqtrd 2856	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 (♯‘(𝑥(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑃)) mod 𝑃) = (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃))
29		1cnd 10630	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1)) → 1 ∈ ℂ)
30		fsumconst 15139	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
31	10, 29, 30	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = ((♯‘𝑉) · 1))
32		hashcl 13711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 11950	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → (♯‘𝑉) ∈ ℝ)
34		ax-1rid 10601	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℝ → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
35	33, 34	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ Fin → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
36	35	3ad2ant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
37	36	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘𝑉) · 1) = (♯‘𝑉))
38	31, 37	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 = (♯‘𝑉))
39	38	oveq1d 7165	. 2 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → (Σ𝑥 ∈ 𝑉 1 mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))
40	8, 28, 39	3eqtrd 2860	1 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (𝐾 − 1))) → ((♯‘(𝑃 ClWWalksN 𝐺)) mod 𝑃) = ((♯‘𝑉) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Fincfn 8503  ℂcc 10529  ℝcr 10530  1c1 10532   · cmul 10536   − cmin 10864  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891  ℤcz 11975   mod cmo 13231  ♯chash 13684  Σcsu 15036   ∥ cdvds 15601  ℙcprime 16009  Vtxcvtx 26775  FinUSGraphcfusgr 27092   RegUSGraph crusgr 27332   ClWWalksN cclwwlkn 27796  ClWWalksNOncclwwlknon 27860   FriendGraph cfrgr 28031

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-disj 5024  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-se 5509  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-pm 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12384  df-xadd 12502  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-word 13856  df-lsw 13909  df-concat 13917  df-s1 13944  df-substr 13997  df-pfx 14027  df-s2 14204  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-clim 14839  df-sum 15037  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-phi 16097  df-vtx 26777  df-iedg 26778  df-edg 26827  df-uhgr 26837  df-ushgr 26838  df-upgr 26861  df-umgr 26862  df-uspgr 26929  df-usgr 26930  df-fusgr 27093  df-nbgr 27109  df-vtxdg 27242  df-rgr 27333  df-rusgr 27334  df-wwlks 27602  df-wwlksn 27603  df-wwlksnon 27604  df-clwwlk 27754  df-clwwlkn 27797  df-clwwlknon 27861  df-frgr 28032

This theorem is referenced by:  numclwwlk7  28164