MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numdom 8858
Description: A set dominated by a numerable set is numerable. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
numdom ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numdom
StepHypRef Expression
1 cardon 8767 . 2 (card‘𝐴) ∈ On
2 cardid2 8776 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → (card‘𝐴) ≈ 𝐴)
3 domen2 8100 . . . 4 ((card‘𝐴) ≈ 𝐴 → (𝐵 ≼ (card‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
42, 3syl 17 . . 3 (𝐴 ∈ dom card → (𝐵 ≼ (card‘𝐴) ↔ 𝐵𝐴))
54biimpar 502 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ≼ (card‘𝐴))
6 ondomen 8857 . 2 (((card‘𝐴) ∈ On ∧ 𝐵 ≼ (card‘𝐴)) → 𝐵 ∈ dom card)
71, 5, 6sylancr 695 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  wcel 1989   class class class wbr 4651  dom cdm 5112  Oncon0 5721  cfv 5886  cen 7949  cdom 7950  cardccrd 8758
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rmo 2919  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-pss 3588  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-tp 4180  df-op 4182  df-uni 4435  df-int 4474  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-tr 4751  df-id 5022  df-eprel 5027  df-po 5033  df-so 5034  df-fr 5071  df-se 5072  df-we 5073  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-pred 5678  df-ord 5724  df-on 5725  df-suc 5727  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-isom 5895  df-riota 6608  df-wrecs 7404  df-recs 7465  df-er 7739  df-en 7953  df-dom 7954  df-card 8762
This theorem is referenced by:  ssnum  8859  indcardi  8861  fonum  8878  infpwfien  8882  inffien  8883  unnum  9019  infdif  9028  infxpabs  9031  infunsdom1  9032  infunsdom  9033  infmap2  9037  gchac  9500  grothac  9649  mbfimaopnlem  23416  ttac  37429  isnumbasgrplem2  37500
  Copyright terms: Public domain W3C validator