Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numltc 11720
 Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5 𝐶 < 𝑇
numltc.6 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
numltc ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ
2 numlt.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
3 numltc.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℕ0
4 numltc.5 . . . . 5 𝐶 < 𝑇
51, 2, 3, 1, 4numlt 11719 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
61nnrei 11221 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℝ
76recni 10244 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
82nn0rei 11495 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
98recni 10244 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
10 ax-1cn 10186 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
117, 9, 10adddii 10242 . . . . 5 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
127mulid1i 10234 . . . . . 6 (𝑇 · 1) = 𝑇
1312oveq2i 6824 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
1411, 13eqtri 2782 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
155, 14breqtrri 4831 . . 3 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 𝐴 < 𝐵
17 numlt.3 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
18 nn0ltp1le 11627 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
192, 17, 18mp2an 710 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
2016, 19mpbi 220 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
211nngt0i 11246 . . . . 5 0 < 𝑇
22 peano2re 10401 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2417nn0rei 11495 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2523, 24, 6lemul2i 11139 . . . . 5 (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
2621, 25ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
2720, 26mpbi 220 . . 3 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
286, 8remulcli 10246 . . . . 5 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
293nn0rei 11495 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3028, 29readdcli 10245 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
316, 23remulcli 10246 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
326, 24remulcli 10246 . . . 4 (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
3330, 31, 32ltletri 10357 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
3415, 27, 33mp2an 710 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35 numltc.4 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
3632, 35nn0addge1i 11533 . 2 (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
3735nn0rei 11495 . . . 4 𝐷 ∈ ℝ
3832, 37readdcli 10245 . . 3 ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
3930, 32, 38ltletri 10357 . 2 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
4034, 36, 39mp2an 710 1 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 196   ∈ wcel 2139   class class class wbr 4804  (class class class)co 6813  ℝcr 10127  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131   · cmul 10133   < clt 10266   ≤ cle 10267  ℕcn 11212  ℕ0cn0 11484 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570 This theorem is referenced by:  decltc  11724  decltcOLD  11725  numlti  11737
 Copyright terms: Public domain W3C validator