MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numltc 11357
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5 𝐶 < 𝑇
numltc.6 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
numltc ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ
2 numlt.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
3 numltc.3 . . . . 5 𝐶 ∈ ℕ0
4 numltc.5 . . . . 5 𝐶 < 𝑇
51, 2, 3, 1, 4numlt 11356 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
61nnrei 10873 . . . . . . 7 𝑇 ∈ ℝ
76recni 9905 . . . . . 6 𝑇 ∈ ℂ
82nn0rei 11147 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℝ
98recni 9905 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
10 ax-1cn 9847 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
117, 9, 10adddii 9903 . . . . 5 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
127mulid1i 9895 . . . . . 6 (𝑇 · 1) = 𝑇
1312oveq2i 6535 . . . . 5 ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
1411, 13eqtri 2628 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
155, 14breqtrri 4601 . . 3 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 𝐴 < 𝐵
17 numlt.3 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℕ0
18 nn0ltp1le 11265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
192, 17, 18mp2an 703 . . . . 5 (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
2016, 19mpbi 218 . . . 4 (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
211nngt0i 10898 . . . . 5 0 < 𝑇
22 peano2re 10057 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 1) ∈ ℝ
2417nn0rei 11147 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℝ
2523, 24, 6lemul2i 10793 . . . . 5 (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
2621, 25ax-mp 5 . . . 4 ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
2720, 26mpbi 218 . . 3 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
286, 8remulcli 9907 . . . . 5 (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
293nn0rei 11147 . . . . 5 𝐶 ∈ ℝ
3028, 29readdcli 9906 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
316, 23remulcli 9907 . . . 4 (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
326, 24remulcli 9907 . . . 4 (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
3330, 31, 32ltletri 10013 . . 3 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
3415, 27, 33mp2an 703 . 2 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35 numltc.4 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
3632, 35nn0addge1i 11185 . 2 (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
3735nn0rei 11147 . . . 4 𝐷 ∈ ℝ
3832, 37readdcli 9906 . . 3 ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
3930, 32, 38ltletri 10013 . 2 ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
4034, 36, 39mp2an 703 1 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 194  wcel 1976   class class class wbr 4574  (class class class)co 6524  cr 9788  0cc0 9789  1c1 9790   + caddc 9792   · cmul 9794   < clt 9927  cle 9928  cn 10864  0cn0 11136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-n0 11137  df-z 11208
This theorem is referenced by:  decltc  11361  decltcOLD  11362  numlti  11374
  Copyright terms: Public domain W3C validator