MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nummul2c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nummul2c 11395
Description: The product of a decimal integer with a number (with carry). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
nummul1c.1 𝑇 ∈ ℕ0
nummul1c.2 𝑃 ∈ ℕ0
nummul1c.3 𝐴 ∈ ℕ0
nummul1c.4 𝐵 ∈ ℕ0
nummul1c.5 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
nummul1c.6 𝐷 ∈ ℕ0
nummul1c.7 𝐸 ∈ ℕ0
nummul2c.7 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
nummul2c.8 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
Assertion
Ref Expression
nummul2c (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)

Proof of Theorem nummul2c
StepHypRef Expression
1 nummul1c.5 . . . 4 𝑁 = ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵)
2 nummul1c.1 . . . . 5 𝑇 ∈ ℕ0
3 nummul1c.3 . . . . 5 𝐴 ∈ ℕ0
4 nummul1c.4 . . . . 5 𝐵 ∈ ℕ0
52, 3, 4numcl 11342 . . . 4 ((𝑇 · 𝐴) + 𝐵) ∈ ℕ0
61, 5eqeltri 2683 . . 3 𝑁 ∈ ℕ0
76nn0cni 11151 . 2 𝑁 ∈ ℂ
8 nummul1c.2 . . 3 𝑃 ∈ ℕ0
98nn0cni 11151 . 2 𝑃 ∈ ℂ
10 nummul1c.6 . . 3 𝐷 ∈ ℕ0
11 nummul1c.7 . . 3 𝐸 ∈ ℕ0
123nn0cni 11151 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℂ
1312, 9mulcomi 9902 . . . . 5 (𝐴 · 𝑃) = (𝑃 · 𝐴)
1413oveq1i 6537 . . . 4 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸)
15 nummul2c.7 . . . 4 ((𝑃 · 𝐴) + 𝐸) = 𝐶
1614, 15eqtri 2631 . . 3 ((𝐴 · 𝑃) + 𝐸) = 𝐶
174nn0cni 11151 . . . 4 𝐵 ∈ ℂ
18 nummul2c.8 . . . 4 (𝑃 · 𝐵) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
199, 17, 18mulcomli 9903 . . 3 (𝐵 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐸) + 𝐷)
202, 8, 3, 4, 1, 10, 11, 16, 19nummul1c 11394 . 2 (𝑁 · 𝑃) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
217, 9, 20mulcomli 9903 1 (𝑃 · 𝑁) = ((𝑇 · 𝐶) + 𝐷)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1474  wcel 1976  (class class class)co 6527   + caddc 9795   · cmul 9797  0cn0 11139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-ltxr 9935  df-sub 10119  df-nn 10868  df-n0 11140
This theorem is referenced by:  decmul2c  11421  decmul2cOLD  11422
  Copyright terms: Public domain W3C validator