Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numthcor 9276
 Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4626 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
21rexbidv 3047 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥))
3 vpwex 4819 . . . 4 𝒫 𝑦 ∈ V
43numth2 9253 . . 3 𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5 vex 3193 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
65canth2 8073 . . . . 5 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7 ensym 7965 . . . . 5 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦𝑥)
8 sdomentr 8054 . . . . 5 ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
96, 7, 8sylancr 694 . . . 4 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦𝑦𝑥)
109reximi 3007 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥)
114, 10ax-mp 5 . 2 𝑥 ∈ On 𝑦𝑥
122, 11vtoclg 3256 1 (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ∃wrex 2909  𝒫 cpw 4136   class class class wbr 4623  Oncon0 5692   ≈ cen 7912   ≺ csdm 7914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-ac2 9245 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-int 4448  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-se 5044  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-isom 5866  df-riota 6576  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-card 8725  df-ac 8899 This theorem is referenced by:  cardmin  9346
 Copyright terms: Public domain W3C validator