MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numthcor Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numthcor 9073
Description: Any set is strictly dominated by some ordinal. (Contributed by NM, 22-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
numthcor (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem numthcor
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq1 4484 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝑥𝐴𝑥))
21rexbidv 2938 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥))
3 vpwex 4674 . . . 4 𝒫 𝑦 ∈ V
43numth2 9050 . . 3 𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦
5 vex 3080 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
65canth2 7872 . . . . 5 𝑦 ≺ 𝒫 𝑦
7 ensym 7765 . . . . 5 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → 𝒫 𝑦𝑥)
8 sdomentr 7853 . . . . 5 ((𝑦 ≺ 𝒫 𝑦 ∧ 𝒫 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
96, 7, 8sylancr 693 . . . 4 (𝑥 ≈ 𝒫 𝑦𝑦𝑥)
109reximi 2898 . . 3 (∃𝑥 ∈ On 𝑥 ≈ 𝒫 𝑦 → ∃𝑥 ∈ On 𝑦𝑥)
114, 10ax-mp 5 . 2 𝑥 ∈ On 𝑦𝑥
122, 11vtoclg 3143 1 (𝐴𝑉 → ∃𝑥 ∈ On 𝐴𝑥)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1474  wcel 1938  wrex 2801  𝒫 cpw 4011   class class class wbr 4481  Oncon0 5530  cen 7712  csdm 7714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6721  ax-ac2 9042
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-se 4892  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-isom 5698  df-riota 6387  df-wrecs 7167  df-recs 7229  df-er 7503  df-en 7716  df-dom 7717  df-sdom 7718  df-card 8522  df-ac 8696
This theorem is referenced by:  cardmin  9139
  Copyright terms: Public domain W3C validator