MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numwdom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numwdom 9473
Description: A surjection maps numerable sets to numerable sets. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
numwdom ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)

Proof of Theorem numwdom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brwdomi 9020 . 2 (𝐵* 𝐴 → (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵))
2 simpr 485 . . . 4 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 = ∅)
3 0fin 8734 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
4 finnum 9365 . . . . 5 (∅ ∈ Fin → ∅ ∈ dom card)
53, 4ax-mp 5 . . . 4 ∅ ∈ dom card
62, 5syl6eqel 2918 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵 = ∅) → 𝐵 ∈ dom card)
7 fonum 9472 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
87ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom card → (𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
98exlimdv 1925 . . . 4 (𝐴 ∈ dom card → (∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵𝐵 ∈ dom card))
109imp 407 . . 3 ((𝐴 ∈ dom card ∧ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵) → 𝐵 ∈ dom card)
116, 10jaodan 951 . 2 ((𝐴 ∈ dom card ∧ (𝐵 = ∅ ∨ ∃𝑓 𝑓:𝐴onto𝐵)) → 𝐵 ∈ dom card)
121, 11sylan2 592 1 ((𝐴 ∈ dom card ∧ 𝐵* 𝐴) → 𝐵 ∈ dom card)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 841   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  c0 4288   class class class wbr 5057  dom cdm 5548  ontowfo 6346  Fincfn 8497  * cwdom 9009  cardccrd 9352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-fin 8501  df-wdom 9011  df-card 9356  df-acn 9359
This theorem is referenced by:  ptcmplem2  22589
  Copyright terms: Public domain W3C validator